Pré-cálculo Exemplos

$(1, 2)$ , $(2, 9)$

Step 1

A equação para encontrar o ângulo entre dois vetores $θ$ determina que o produto escalar dos dois vetores é igual ao produto das magnitudes dos vetores e o cosseno do ângulo entre eles.

$u \cdot v = | u | | v | c o s (θ)$

Step 2

Resolva a equação para $θ$ .

$θ = a r c \cdot c o s (\frac{u \cdot v}{| u | | v |})$

Step 3

Encontre o produto escalar dos vetores.

Toque para ver mais passagens...

Para encontrar o produto escalar, encontre a soma dos produtos dos componentes correspondentes dos vetores.

$u \cdot v = u_{1} v_{1} + u_{2} v_{2}$

Substitua os componentes dos vetores na expressão.

$1 \cdot 2 + 2 \cdot 9$

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Remova os parênteses.

$1 \cdot 2 + 2 \cdot 9$

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 + 2 \cdot 9$

Multiplique $2$ por $9$ .

$2 + 18$

Some $2$ e $18$ .

$20$

Step 4

Encontre a magnitude de $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Para encontrar a magnitude do vetor, encontre a raiz quadrada da soma dos componentes do vetor ao quadrado.

$\sqrt{{(u_{1})}^{2} + {(u_{2})}^{2}}$

Substitua os componentes do vetor na expressão.

$\sqrt{{(1)}^{2} + {(2)}^{2}}$

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Um elevado a qualquer potência é um.

$\sqrt{1 + {(2)}^{2}}$

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\sqrt{1 + 4}$

Some $1$ e $4$ .

$\sqrt{5}$

Step 5

Encontre a magnitude de $v$ .

Toque para ver mais passagens...

Para encontrar a magnitude do vetor, encontre a raiz quadrada da soma dos componentes do vetor ao quadrado.

$\sqrt{{(u_{1})}^{2} + {(u_{2})}^{2}}$

Substitua os componentes do vetor na expressão.

$\sqrt{{(2)}^{2} + {(9)}^{2}}$

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\sqrt{4 + {(9)}^{2}}$

Eleve $9$ à potência de $2$ .

$\sqrt{4 + 81}$

Some $4$ e $81$ .

$\sqrt{85}$

Step 6

Substitua os valores na equação pelo ângulo entre os vetores.

$θ = \arccos (\frac{20}{(\sqrt{5}) \cdot (\sqrt{85})})$

Step 7

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\arccos (\frac{20}{\sqrt{5 \cdot 85}})$

Multiplique $5$ por $85$ .

$\arccos (\frac{20}{\sqrt{425}})$

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Reescreva $425$ como $5^{2} \cdot 17$ .

Toque para ver mais passagens...

Fatore $25$ de $425$ .

$\arccos (\frac{20}{\sqrt{25 (17)}})$

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$\arccos (\frac{20}{\sqrt{5^{2} \cdot 17}})$

Elimine os termos abaixo do radical.

$\arccos (\frac{20}{5 \sqrt{17}})$

Cancele o fator comum de $20$ e $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Fatore $5$ de $20$ .

$\arccos (\frac{5 \cdot 4}{5 \sqrt{17}})$

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Fatore $5$ de $5 \sqrt{17}$ .

$\arccos (\frac{5 \cdot 4}{5 (\sqrt{17})})$

Cancele o fator comum.

$\arccos (\frac{5 \cdot 4}{5 \sqrt{17}})$

Reescreva a expressão.

$\arccos (\frac{4}{\sqrt{17}})$

Multiplique $\frac{4}{\sqrt{17}}$ por $\frac{\sqrt{17}}{\sqrt{17}}$ .

$\arccos (\frac{4}{\sqrt{17}} \cdot \frac{\sqrt{17}}{\sqrt{17}})$

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Multiplique $\frac{4}{\sqrt{17}}$ por $\frac{\sqrt{17}}{\sqrt{17}}$ .

$\arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{\sqrt{17} \sqrt{17}})$

Eleve $\sqrt{17}$ à potência de $1$ .

$\arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{{\sqrt{17}}^{1} \sqrt{17}})$

Eleve $\sqrt{17}$ à potência de $1$ .

$\arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{{\sqrt{17}}^{1} {\sqrt{17}}^{1}})$

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{{\sqrt{17}}^{1 + 1}})$

Some $1$ e $1$ .

$\arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{{\sqrt{17}}^{2}})$

Reescreva ${\sqrt{17}}^{2}$ como $17$ .

Toque para ver mais passagens...

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{17}$ como $17^{\frac{1}{2}}$ .

$\arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{{(17^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{17^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{17^{\frac{2}{2}}})$

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Cancele o fator comum.

$\arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{17^{\frac{2}{2}}})$

Reescreva a expressão.

$\arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{17^{1}})$

Avalie o expoente.

$\arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{17})$

Avalie $\arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{17})$ .

$0.24497866$