Pré-cálculo Exemplos

$\log_{2} (3) \cdot \log_{3} (4) \cdot \log_{4} (5) \cdot \log_{5} (6) \cdot \log_{6} (7) \cdot \log_{7} (8) \cdot \log_{8} (9)$

Etapa 1

Multiplique $\log_{2} (3) \log_{3} (4) \log_{4} (5) \log_{5} (6) \log_{6} (7) \log_{7} (8)$ por $\log_{8} (9)$ .

$\log_{2} (3) \log_{3} (4) \log_{4} (5) \log_{5} (6) \log_{6} (7) \log_{7} (8) \log_{8} (9)$

Etapa 2

Reescreva $\log_{2} (3)$ usando a mudança da fórmula de base.

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Etapa 2.1

A variação da regra de base pode ser usada quando $a$ e $b$ são maiores do que $0$ e diferentes de $1$ , e quando $x$ é maior do que $0$ .

$\log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} \log_{3} (4) \log_{4} (5) \log_{5} (6) \log_{6} (7) \log_{7} (8) \log_{8} (9)$

Etapa 2.2

Substitua os valores das variáveis na mudança da fórmula de base, usando $b = 10$ .

$\frac{\log (3)}{\log (2)} \log_{3} (4) \log_{4} (5) \log_{5} (6) \log_{6} (7) \log_{7} (8) \log_{8} (9)$

Etapa 3

Reescreva $\log_{3} (4)$ usando a mudança da fórmula de base.

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Etapa 3.1

A variação da regra de base pode ser usada quando $a$ e $b$ são maiores do que $0$ e diferentes de $1$ , e quando $x$ é maior do que $0$ .

$\frac{\log (3)}{\log (2)} \log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} \log_{4} (5) \log_{5} (6) \log_{6} (7) \log_{7} (8) \log_{8} (9)$

Etapa 3.2

Substitua os valores das variáveis na mudança da fórmula de base, usando $b = 10$ .

$\frac{\log (3)}{\log (2)} \cdot \frac{\log (4)}{\log (3)} \log_{4} (5) \log_{5} (6) \log_{6} (7) \log_{7} (8) \log_{8} (9)$

Etapa 4

Cancele o fator comum de $\log (3)$ .

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Etapa 4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\log (3)}{\log (2)} \cdot \frac{\log (4)}{\log (3)} \log_{4} (5) \log_{5} (6) \log_{6} (7) \log_{7} (8) \log_{8} (9)$

Etapa 4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{\log (2)} \log (4) \log_{4} (5) \log_{5} (6) \log_{6} (7) \log_{7} (8) \log_{8} (9)$

Etapa 5

Combine $\frac{1}{\log (2)}$ e $\log (4)$ .

$\frac{\log (4)}{\log (2)} \log_{4} (5) \log_{5} (6) \log_{6} (7) \log_{7} (8) \log_{8} (9)$

Etapa 6

Reescreva $\log (4)$ como $\log (2^{2})$ .

$\frac{\log (2^{2})}{\log (2)} \log_{4} (5) \log_{5} (6) \log_{6} (7) \log_{7} (8) \log_{8} (9)$

Etapa 7

Expanda $\log (2^{2})$ movendo $2$ para fora do logaritmo.

$\frac{2 \log (2)}{\log (2)} \log_{4} (5) \log_{5} (6) \log_{6} (7) \log_{7} (8) \log_{8} (9)$

Etapa 8

Cancele o fator comum de $\log (2)$ .

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Etapa 8.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \log (2)}{\log (2)} \log_{4} (5) \log_{5} (6) \log_{6} (7) \log_{7} (8) \log_{8} (9)$

Etapa 8.2

Divida $2$ por $1$ .

$2 \log_{4} (5) \log_{5} (6) \log_{6} (7) \log_{7} (8) \log_{8} (9)$

Etapa 9

Reescreva $\log_{4} (5)$ usando a mudança da fórmula de base.

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Etapa 9.1

A variação da regra de base pode ser usada quando $a$ e $b$ são maiores do que $0$ e diferentes de $1$ , e quando $x$ é maior do que $0$ .

$2 \log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} \log_{5} (6) \log_{6} (7) \log_{7} (8) \log_{8} (9)$

Etapa 9.2

Substitua os valores das variáveis na mudança da fórmula de base, usando $b = 10$ .

$2 \frac{\log (5)}{\log (4)} \log_{5} (6) \log_{6} (7) \log_{7} (8) \log_{8} (9)$

Etapa 10

Multiplique $2 \frac{\log (5)}{\log (4)}$ .

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Etapa 10.1

Combine $2$ e $\frac{\log (5)}{\log (4)}$ .

$\frac{2 \log (5)}{\log (4)} \log_{5} (6) \log_{6} (7) \log_{7} (8) \log_{8} (9)$

Etapa 10.2

Simplifique $2 \log (5)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$\frac{\log (5^{2})}{\log (4)} \log_{5} (6) \log_{6} (7) \log_{7} (8) \log_{8} (9)$

Etapa 11

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$\frac{\log (25)}{\log (4)} \log_{5} (6) \log_{6} (7) \log_{7} (8) \log_{8} (9)$

Etapa 12

Reescreva $\log (25)$ como $\log (5^{2})$ .

$\frac{\log (5^{2})}{\log (4)} \log_{5} (6) \log_{6} (7) \log_{7} (8) \log_{8} (9)$

Etapa 13

Expanda $\log (5^{2})$ movendo $2$ para fora do logaritmo.

$\frac{2 \log (5)}{\log (4)} \log_{5} (6) \log_{6} (7) \log_{7} (8) \log_{8} (9)$

Etapa 14

Reescreva $\log (4)$ como $\log (2^{2})$ .

$\frac{2 \log (5)}{\log (2^{2})} \log_{5} (6) \log_{6} (7) \log_{7} (8) \log_{8} (9)$

Etapa 15

Expanda $\log (2^{2})$ movendo $2$ para fora do logaritmo.

$\frac{2 \log (5)}{2 \log (2)} \log_{5} (6) \log_{6} (7) \log_{7} (8) \log_{8} (9)$

Etapa 16

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 16.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \log (5)}{2 \log (2)} \log_{5} (6) \log_{6} (7) \log_{7} (8) \log_{8} (9)$

Etapa 16.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\log (5)}{\log (2)} \log_{5} (6) \log_{6} (7) \log_{7} (8) \log_{8} (9)$

Etapa 17

Reescreva $\log_{5} (6)$ usando a mudança da fórmula de base.

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Etapa 17.1

A variação da regra de base pode ser usada quando $a$ e $b$ são maiores do que $0$ e diferentes de $1$ , e quando $x$ é maior do que $0$ .

$\frac{\log (5)}{\log (2)} \log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} \log_{6} (7) \log_{7} (8) \log_{8} (9)$

Etapa 17.2

Substitua os valores das variáveis na mudança da fórmula de base, usando $b = 10$ .

$\frac{\log (5)}{\log (2)} \cdot \frac{\log (6)}{\log (5)} \log_{6} (7) \log_{7} (8) \log_{8} (9)$

Etapa 18

Cancele o fator comum de $\log (5)$ .

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Etapa 18.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\log (5)}{\log (2)} \cdot \frac{\log (6)}{\log (5)} \log_{6} (7) \log_{7} (8) \log_{8} (9)$

Etapa 18.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{\log (2)} \log (6) \log_{6} (7) \log_{7} (8) \log_{8} (9)$

Etapa 19

Combine $\frac{1}{\log (2)}$ e $\log (6)$ .

$\frac{\log (6)}{\log (2)} \log_{6} (7) \log_{7} (8) \log_{8} (9)$

Etapa 20

Reescreva $\log_{6} (7)$ usando a mudança da fórmula de base.

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Etapa 20.1

A variação da regra de base pode ser usada quando $a$ e $b$ são maiores do que $0$ e diferentes de $1$ , e quando $x$ é maior do que $0$ .

$\frac{\log (6)}{\log (2)} \log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} \log_{7} (8) \log_{8} (9)$

Etapa 20.2

Substitua os valores das variáveis na mudança da fórmula de base, usando $b = 10$ .

$\frac{\log (6)}{\log (2)} \cdot \frac{\log (7)}{\log (6)} \log_{7} (8) \log_{8} (9)$

Etapa 21

Cancele o fator comum de $\log (6)$ .

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Etapa 21.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\log (6)}{\log (2)} \cdot \frac{\log (7)}{\log (6)} \log_{7} (8) \log_{8} (9)$

Etapa 21.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{\log (2)} \log (7) \log_{7} (8) \log_{8} (9)$

Etapa 22

Combine $\frac{1}{\log (2)}$ e $\log (7)$ .

$\frac{\log (7)}{\log (2)} \log_{7} (8) \log_{8} (9)$

Etapa 23

Reescreva $\log_{7} (8)$ usando a mudança da fórmula de base.

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Etapa 23.1

A variação da regra de base pode ser usada quando $a$ e $b$ são maiores do que $0$ e diferentes de $1$ , e quando $x$ é maior do que $0$ .

$\frac{\log (7)}{\log (2)} \log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} \log_{8} (9)$

Etapa 23.2

Substitua os valores das variáveis na mudança da fórmula de base, usando $b = 10$ .

$\frac{\log (7)}{\log (2)} \cdot \frac{\log (8)}{\log (7)} \log_{8} (9)$

Etapa 24

Cancele o fator comum de $\log (7)$ .

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Etapa 24.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\log (7)}{\log (2)} \cdot \frac{\log (8)}{\log (7)} \log_{8} (9)$

Etapa 24.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{\log (2)} \log (8) \log_{8} (9)$

Etapa 25

Combine $\frac{1}{\log (2)}$ e $\log (8)$ .

$\frac{\log (8)}{\log (2)} \log_{8} (9)$

Etapa 26

Reescreva $\log (8)$ como $\log (2^{3})$ .

$\frac{\log (2^{3})}{\log (2)} \log_{8} (9)$

Etapa 27

Expanda $\log (2^{3})$ movendo $3$ para fora do logaritmo.

$\frac{3 \log (2)}{\log (2)} \log_{8} (9)$

Etapa 28

Cancele o fator comum de $\log (2)$ .

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Etapa 28.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 \log (2)}{\log (2)} \log_{8} (9)$

Etapa 28.2

Divida $3$ por $1$ .

$3 \log_{8} (9)$

Etapa 29

Reescreva $\log_{8} (9)$ usando a mudança da fórmula de base.

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Etapa 29.1

A variação da regra de base pode ser usada quando $a$ e $b$ são maiores do que $0$ e diferentes de $1$ , e quando $x$ é maior do que $0$ .

$3 \log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)}$

Etapa 29.2

Substitua os valores das variáveis na mudança da fórmula de base, usando $b = 10$ .

$3 \frac{\log (9)}{\log (8)}$

Etapa 30

Multiplique $3 \frac{\log (9)}{\log (8)}$ .

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Etapa 30.1

Combine $3$ e $\frac{\log (9)}{\log (8)}$ .

$\frac{3 \log (9)}{\log (8)}$

Etapa 30.2

Simplifique $3 \log (9)$ movendo $3$ para dentro do logaritmo.

$\frac{\log (9^{3})}{\log (8)}$

Etapa 31

Eleve $9$ à potência de $3$ .

$\frac{\log (729)}{\log (8)}$

Etapa 32

Reescreva $\log (729)$ como $\log (3^{6})$ .

$\frac{\log (3^{6})}{\log (8)}$

Etapa 33

Expanda $\log (3^{6})$ movendo $6$ para fora do logaritmo.

$\frac{6 \log (3)}{\log (8)}$

Etapa 34

Reescreva $\log (8)$ como $\log (2^{3})$ .

$\frac{6 \log (3)}{\log (2^{3})}$

Etapa 35

Expanda $\log (2^{3})$ movendo $3$ para fora do logaritmo.

$\frac{6 \log (3)}{3 \log (2)}$

Etapa 36

Cancele o fator comum de $6$ e $3$ .

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Etapa 36.1

Fatore $3$ de $6 \log (3)$ .

$\frac{3 (2 \log (3))}{3 \log (2)}$

Etapa 36.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 36.2.1

Fatore $3$ de $3 \log (2)$ .

$\frac{3 (2 \log (3))}{3 (\log (2))}$

Etapa 36.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 (2 \log (3))}{3 \log (2)}$

Etapa 36.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2 \log (3)}{\log (2)}$

Etapa 37

Simplifique $2 \log (3)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$\frac{\log (3^{2})}{\log (2)}$

Etapa 38

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$\frac{\log (9)}{\log (2)}$

Etapa 39

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{\log (9)}{\log (2)}$

Forma decimal:

$3.16992500 \dots$