Pré-cálculo Exemplos

$y = - 3 x^{6} + 2 x^{4} + x^{2}$

Etapa 1

Encontre as intersecções com o eixo x.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Para encontrar as intersecções com o eixo x, substitua $0$ por $y$ e resolva $x$ .

$0 = - 3 x^{6} + 2 x^{4} + x^{2}$

Etapa 1.2

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Reescreva a equação como $- 3 x^{6} + 2 x^{4} + x^{2} = 0$ .

$- 3 x^{6} + 2 x^{4} + x^{2} = 0$

Etapa 1.2.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Fatore $- x^{2}$ de $- 3 x^{6} + 2 x^{4} + x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1.1

Fatore $- x^{2}$ de $- 3 x^{6}$ .

$- x^{2} (3 x^{4}) + 2 x^{4} + x^{2} = 0$

Etapa 1.2.2.1.2

Fatore $- x^{2}$ de $2 x^{4}$ .

$- x^{2} (3 x^{4}) - x^{2} (- 2 x^{2}) + x^{2} = 0$

Etapa 1.2.2.1.3

Fatore $- x^{2}$ de $x^{2}$ .

$- x^{2} (3 x^{4}) - x^{2} (- 2 x^{2}) - x^{2} \cdot - 1 = 0$

Etapa 1.2.2.1.4

Fatore $- x^{2}$ de $- x^{2} (3 x^{4}) - x^{2} (- 2 x^{2})$ .

$- x^{2} (3 x^{4} - 2 x^{2}) - x^{2} \cdot - 1 = 0$

Etapa 1.2.2.1.5

Fatore $- x^{2}$ de $- x^{2} (3 x^{4} - 2 x^{2}) - x^{2} \cdot - 1$ .

$- x^{2} (3 x^{4} - 2 x^{2} - 1) = 0$

Etapa 1.2.2.2

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$- x^{2} (3 {(x^{2})}^{2} - 2 x^{2} - 1) = 0$

Etapa 1.2.2.3

Deixe $u = x^{2}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x^{2}$ .

$- x^{2} (3 u^{2} - 2 u - 1) = 0$

Etapa 1.2.2.4

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.4.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 3 \cdot - 1 = - 3$ e cuja soma é $b = - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.4.1.1

Fatore $- 2$ de $- 2 u$ .

$- x^{2} (3 u^{2} - 2 u - 1) = 0$

Etapa 1.2.2.4.1.2

Reescreva $- 2$ como $1$ mais $- 3$

$- x^{2} (3 u^{2} + (1 - 3) u - 1) = 0$

Etapa 1.2.2.4.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$- x^{2} (3 u^{2} + 1 u - 3 u - 1) = 0$

Etapa 1.2.2.4.1.4

Multiplique $u$ por $1$ .

$- x^{2} (3 u^{2} + u - 3 u - 1) = 0$

Etapa 1.2.2.4.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.4.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$- x^{2} ((3 u^{2} + u) - 3 u - 1) = 0$

Etapa 1.2.2.4.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$- x^{2} (u (3 u + 1) - (3 u + 1)) = 0$

Etapa 1.2.2.4.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $3 u + 1$ .

$- x^{2} ((3 u + 1) (u - 1)) = 0$

Etapa 1.2.2.5

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$- x^{2} ((3 x^{2} + 1) (x^{2} - 1)) = 0$

Etapa 1.2.2.6

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$- x^{2} ((3 x^{2} + 1) (x^{2} - 1^{2})) = 0$

Etapa 1.2.2.7

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.7.1

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.7.1.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 1$ .

$- x^{2} ((3 x^{2} + 1) ((x + 1) (x - 1))) = 0$

Etapa 1.2.2.7.1.2

Remova os parênteses desnecessários.

$- x^{2} ((3 x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)) = 0$

Etapa 1.2.2.7.2

Remova os parênteses desnecessários.

$- x^{2} (3 x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) = 0$

Etapa 1.2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

$3 x^{2} + 1 = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Etapa 1.2.4

Defina $x^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1

Defina $x^{2}$ como igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

Etapa 1.2.4.2

Resolva $x^{2} = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Etapa 1.2.4.2.2

Simplifique $\pm \sqrt{0}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.2.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Etapa 1.2.4.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 0$

Etapa 1.2.4.2.2.3

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 1.2.5

Defina $3 x^{2} + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.1

Defina $3 x^{2} + 1$ como igual a $0$ .

$3 x^{2} + 1 = 0$

Etapa 1.2.5.2

Resolva $3 x^{2} + 1 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$3 x^{2} = - 1$

Etapa 1.2.5.2.2

Divida cada termo em $3 x^{2} = - 1$ por $3$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.2.1

Divida cada termo em $3 x^{2} = - 1$ por $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{- 1}{3}$

Etapa 1.2.5.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{- 1}{3}$

Etapa 1.2.5.2.2.2.1.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1}{3}$

Etapa 1.2.5.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x^{2} = - \frac{1}{3}$

Etapa 1.2.5.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- \frac{1}{3}}$

Etapa 1.2.5.2.4

Simplifique $\pm \sqrt{- \frac{1}{3}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.4.1

Reescreva $- \frac{1}{3}$ como $i^{2} \frac{1^{2}}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.4.1.1

Reescreva $- 1$ como $i^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1}{3}}$

Etapa 1.2.5.2.4.1.2

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2}}{3}}$

Etapa 1.2.5.2.4.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \pm i \sqrt{\frac{1^{2}}{3}}$

Etapa 1.2.5.2.4.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$x = \pm i \sqrt{\frac{1}{3}}$

Etapa 1.2.5.2.4.4

Reescreva $\sqrt{\frac{1}{3}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

Etapa 1.2.5.2.4.5

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$x = \pm i \frac{1}{\sqrt{3}}$

Etapa 1.2.5.2.4.6

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i (\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Etapa 1.2.5.2.4.7

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.4.7.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Etapa 1.2.5.2.4.7.2

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Etapa 1.2.5.2.4.7.3

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Etapa 1.2.5.2.4.7.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Etapa 1.2.5.2.4.7.5

Some $1$ e $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Etapa 1.2.5.2.4.7.6

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.4.7.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 1.2.5.2.4.7.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 1.2.5.2.4.7.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 1.2.5.2.4.7.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.4.7.6.4.1

Cancele o fator comum.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 1.2.5.2.4.7.6.4.2

Reescreva a expressão.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

Etapa 1.2.5.2.4.7.6.5

Avalie o expoente.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3}$

Etapa 1.2.5.2.4.8

Combine $i$ e $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$x = \pm \frac{i \sqrt{3}}{3}$

Etapa 1.2.5.2.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \frac{i \sqrt{3}}{3}$

Etapa 1.2.5.2.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \frac{i \sqrt{3}}{3}$

Etapa 1.2.5.2.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \frac{i \sqrt{3}}{3}, - \frac{i \sqrt{3}}{3}$

Etapa 1.2.6

Defina $x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.1

Defina $x + 1$ como igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Etapa 1.2.6.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 1.2.7

Defina $x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.7.1

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 1.2.7.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 1.2.8

A solução final são todos os valores que tornam $- x^{2} (3 x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, \frac{i \sqrt{3}}{3}, - \frac{i \sqrt{3}}{3}, - 1, 1$

Etapa 1.3

intersecções com o eixo x na forma do ponto.

intersecções com o eixo x: $(0, 0), (- 1, 0), (1, 0)$

Etapa 2

Encontre as intersecções com o eixo y.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Para encontrar as intersecções com o eixo y, substitua $0$ por $x$ e resolva $y$ .

$y = - 3 {(0)}^{6} + 2 {(0)}^{4} + {(0)}^{2}$

Etapa 2.2

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Remova os parênteses.

$y = - 3 \cdot 0^{6} + 2 {(0)}^{4} + {(0)}^{2}$

Etapa 2.2.2

Remova os parênteses.

$y = - 3 \cdot 0^{6} + 2 \cdot 0^{4} + {(0)}^{2}$

Etapa 2.2.3

Remova os parênteses.

$y = - 3 \cdot 0^{6} + 2 \cdot 0^{4} + 0^{2}$

Etapa 2.2.4

Remova os parênteses.

$y = - 3 {(0)}^{6} + 2 {(0)}^{4} + {(0)}^{2}$

Etapa 2.2.5

Simplifique $- 3 {(0)}^{6} + 2 {(0)}^{4} + {(0)}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$y = - 3 \cdot 0 + 2 {(0)}^{4} + {(0)}^{2}$

Etapa 2.2.5.1.2

Multiplique $- 3$ por $0$ .

$y = 0 + 2 {(0)}^{4} + {(0)}^{2}$

Etapa 2.2.5.1.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$y = 0 + 2 \cdot 0 + {(0)}^{2}$

Etapa 2.2.5.1.4

Multiplique $2$ por $0$ .

$y = 0 + 0 + {(0)}^{2}$

Etapa 2.2.5.1.5

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$y = 0 + 0 + 0$

Etapa 2.2.5.2

Simplifique somando os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.2.1

Some $0$ e $0$ .

$y = 0 + 0$

Etapa 2.2.5.2.2

Some $0$ e $0$ .

$y = 0$

Etapa 2.3

intersecções com o eixo y na forma do ponto.

intersecções com o eixo y: $(0, 0)$

Etapa 3

Liste as intersecções.

intersecções com o eixo x: $(0, 0), (- 1, 0), (1, 0)$

intersecções com o eixo y: $(0, 0)$

Etapa 4