Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = 2 x^{2} + 5$

Step 1

Escreva $f (x) = 2 x^{2} + 5$ como uma equação.

$y = 2 x^{2} + 5$

Step 2

Alterne as variáveis.

$x = 2 y^{2} + 5$

Step 3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Reescreva a equação como $2 y^{2} + 5 = x$ .

$2 y^{2} + 5 = x$

Subtraia $5$ dos dois lados da equação.

$2 y^{2} = x - 5$

Divida cada termo em $2 y^{2} = x - 5$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Divida cada termo em $2 y^{2} = x - 5$ por $2$ .

$\frac{2 y^{2}}{2} = \frac{x}{2} + \frac{- 5}{2}$

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Cancele o fator comum.

$\frac{2 y^{2}}{2} = \frac{x}{2} + \frac{- 5}{2}$

Divida $y^{2}$ por $1$ .

$y^{2} = \frac{x}{2} + \frac{- 5}{2}$

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y^{2} = \frac{x}{2} - \frac{5}{2}$

Calcule a raiz quadrada dos dois lados da equação para eliminar o expoente do lado esquerdo.

$y = \pm \sqrt{\frac{x}{2} - \frac{5}{2}}$

Simplifique $\pm \sqrt{\frac{x}{2} - \frac{5}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \pm \sqrt{\frac{x - 5}{2}}$

Reescreva $\sqrt{\frac{x - 5}{2}}$ como $\frac{\sqrt{x - 5}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 5}}{\sqrt{2}}$

Multiplique $\frac{\sqrt{x - 5}}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 5}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Multiplique $\frac{\sqrt{x - 5}}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 5} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Some $1$ e $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 5} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 5} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 5} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Cancele o fator comum.

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 5} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Reescreva a expressão.

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 5} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Avalie o expoente.

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 5} \sqrt{2}}{2}$

Combine usando a regra do produto para radicais.

$y = \pm \frac{\sqrt{(x - 5) \cdot 2}}{2}$

Reordene os fatores em $\pm \frac{\sqrt{(x - 5) \cdot 2}}{2}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x - 5)}}{2}$

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$y = \frac{\sqrt{2 (x - 5)}}{2}$

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$y = - \frac{\sqrt{2 (x - 5)}}{2}$

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$y = \frac{\sqrt{2 (x - 5)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (x - 5)}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{2 (x - 5)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (x - 5)}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{2 (x - 5)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (x - 5)}}{2}$

Step 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (x - 5)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (x - 5)}}{2}$

Step 5

Verifique se $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (x - 5)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (x - 5)}}{2}$ é o inverso de $f (x) = 2 x^{2} + 5$ .

Toque para ver mais passagens...

O domínio do inverso é o intervalo da função original e vice-versa. Encontre o domínio e o intervalo de $f (x) = 2 x^{2} + 5$ e $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (x - 5)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (x - 5)}}{2}$ e os compare.

Encontre o intervalo de $f (x) = 2 x^{2} + 5$ .

Toque para ver mais passagens...

O intervalo é o conjunto de todos os valores $y$ válidos. Use o gráfico para encontrar o intervalo.

Notação de intervalo:

$[5, \infty)$

Encontre o domínio de $\frac{\sqrt{2 (x - 5)}}{2}$ .

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Defina o radicando em $\sqrt{2 (x - 5)}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$2 (x - 5) \geq 0$

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Divida cada termo em $2 (x - 5) \geq 0$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Divida cada termo em $2 (x - 5) \geq 0$ por $2$ .

$\frac{2 (x - 5)}{2} \geq \frac{0}{2}$

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (x - 5)}{2} \geq \frac{0}{2}$

Divida $x - 5$ por $1$ .

$x - 5 \geq \frac{0}{2}$

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Divida $0$ por $2$ .

$x - 5 \geq 0$

Some $5$ aos dois lados da desigualdade.

$x \geq 5$

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$[5, \infty)$

Encontre o domínio de $f (x) = 2 x^{2} + 5$ .

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O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

$(- \infty, \infty)$

Como o domínio de $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (x - 5)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (x - 5)}}{2}$ é o intervalo de $f (x) = 2 x^{2} + 5$ , e o intervalo de $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (x - 5)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (x - 5)}}{2}$ é o domínio de $f (x) = 2 x^{2} + 5$ , então, $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (x - 5)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (x - 5)}}{2}$ é o inverso de $f (x) = 2 x^{2} + 5$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (x - 5)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (x - 5)}}{2}$

Step 6