Pré-cálculo Exemplos

$2 \sin^{2} (x) - 3 \sin (x) + 1 = 0$

Step 1

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 2 \cdot 1 = 2$ e cuja soma é $b = - 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Fatore $- 3$ de $- 3 \sin (x)$ .

$2 \sin^{2} (x) - 3 \sin (x) + 1 = 0$

Reescreva $- 3$ como $- 1$ mais $- 2$

$2 \sin^{2} (x) + (- 1 - 2) \sin (x) + 1 = 0$

Aplique a propriedade distributiva.

$2 \sin^{2} (x) - 1 \sin (x) - 2 \sin (x) + 1 = 0$

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$2 \sin^{2} (x) - 1 \sin (x) - 2 \sin (x) + 1 = 0$

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\sin (x) (2 \sin (x) - 1) - (2 \sin (x) - 1) = 0$

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $2 \sin (x) - 1$ .

$(2 \sin (x) - 1) (\sin (x) - 1) = 0$

Step 2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$2 \sin (x) - 1 = 0$

$\sin (x) - 1 = 0$

Step 3

Defina $2 \sin (x) - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Defina $2 \sin (x) - 1$ como igual a $0$ .

$2 \sin (x) - 1 = 0$

Resolva $2 \sin (x) - 1 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Some $1$ aos dois lados da equação.

$2 \sin (x) = 1$

Divida cada termo em $2 \sin (x) = 1$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Divida cada termo em $2 \sin (x) = 1$ por $2$ .

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{1}{2}$

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{1}{2}$

Divida $\sin (x)$ por $1$ .

$\sin (x) = \frac{1}{2}$

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x = \arcsin (\frac{1}{2})$

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

O valor exato de $\arcsin (\frac{1}{2})$ é $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$x = π - \frac{π}{6}$

Simplifique $π - \frac{π}{6}$ .

Toque para ver mais passagens...

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{6}{6}$ .

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Combine $π$ e $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Mova $6$ para a esquerda de $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Subtraia $π$ de $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Encontre o período de $\sin (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

O período da função $\sin (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Step 4

Defina $\sin (x) - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Defina $\sin (x) - 1$ como igual a $0$ .

$\sin (x) - 1 = 0$

Resolva $\sin (x) - 1 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Some $1$ aos dois lados da equação.

$\sin (x) = 1$

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x = \arcsin (1)$

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

O valor exato de $\arcsin (1)$ é $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$x = π - \frac{π}{2}$

Simplifique $π - \frac{π}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Combine $π$ e $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Mova $2$ para a esquerda de $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Subtraia $π$ de $2 π$ .

$x = \frac{π}{2}$

Encontre o período de $\sin (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

O período da função $\sin (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Step 5

A solução final são todos os valores que tornam $(2 \sin (x) - 1) (\sin (x) - 1) = 0$ verdadeiro.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{π}{2} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$