Cálculo Exemplos

$f (x) = 2 x^{3} - 24 x - 1$

Step 1

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x^{3} - 24 x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{3}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f' (x) = 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Multiplique $3$ por $2$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Avalie $\frac{d}{d x} [- 24 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Como $- 24$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 24 x$ em relação a $x$ é $- 24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 24 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 1)$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 1)$

Multiplique $- 24$ por $1$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 24 + \frac{d}{d x} (- 1)$

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 24 + 0$

Some $6 x^{2} - 24$ e $0$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 24$

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

De acordo com a regra da soma, a derivada de $6 x^{2} - 24$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24)$

Avalie $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x^{2}$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 6 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24)$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = 6 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 24)$

Multiplique $2$ por $6$ .

$f'' (x) = 12 x + \frac{d}{d x} (- 24)$

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Como $- 24$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 24$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 12 x + 0$

Some $12 x$ e $0$ .

$f'' (x) = 12 x$

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $12 x$ .

$12 x$

Step 2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $12 x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$12 x = 0$

Divida cada termo em $12 x = 0$ por $12$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Divida cada termo em $12 x = 0$ por $12$ .

$\frac{12 x}{12} = \frac{0}{12}$

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Cancele o fator comum de $12$ .

Toque para ver mais passagens...

Cancele o fator comum.

$\frac{12 x}{12} = \frac{0}{12}$

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{12}$

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Divida $0$ por $12$ .

$x = 0$

Step 3

Encontre os pontos em que a segunda derivada é $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Substitua $0$ em $f (x) = 2 x^{3} - 24 x - 1$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = 2 {(0)}^{3} - 24 \cdot 0 - 1$

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = 2 \cdot 0 - 24 \cdot 0 - 1$

Multiplique $2$ por $0$ .

$f (0) = 0 - 24 \cdot 0 - 1$

Multiplique $- 24$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 1$

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Some $0$ e $0$ .

$f (0) = 0 - 1$

Subtraia $1$ de $0$ .

$f (0) = - 1$

A resposta final é $- 1$ .

$- 1$

O ponto encontrado ao substituir $0$ em $f (x) = 2 x^{3} - 24 x - 1$ é $(0, - 1)$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(0, - 1)$

Step 4

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos em torno dos pontos que poderiam ser pontos de inflexão.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Step 5

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, 0)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Substitua a variável $x$ por $- 0.1$ na expressão.

$f'' (- 0.1) = 12 (- 0.1)$

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Multiplique $12$ por $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = - 1.2$

A resposta final é $- 1.2$ .

$- 1.2$

Em $- 0.1$ , a segunda derivada é $- 1.2$ . Por ser negativa, a segunda derivada diminui no intervalo $(- \infty, 0)$ .

Decréscimo em $(- \infty, 0)$ , pois $f'' (x) < 0$

Step 6

Substitua um valor do intervalo $(0, \infty)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Substitua a variável $x$ por $0.1$ na expressão.

$f'' (0.1) = 12 (0.1)$

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Multiplique $12$ por $0.1$ .

$f'' (0.1) = 1.2$

A resposta final é $1.2$ .

$1.2$

Em $0.1$ , a segunda derivada é $1.2$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(0, \infty)$ .

Acréscimo em $(0, \infty)$ , pois $f'' (x) > 0$

Step 7

O ponto de inflexão é um ponto em uma curva em que a concavidade muda do sinal de adição para o de subtração ou vice-versa. Neste caso, o ponto de inflexão é $(0, - 1)$ .

$(0, - 1)$

Step 8