Cálculo Exemplos

$y = x^{2} + 1$ , $y = x + 3$

Step 1

Resolva por substituição para encontrar a intersecção entre as curvas.

Toque para ver mais passagens...

Elimine os lados iguais de cada equação e combine.

$x^{2} + 1 = x + 3$

Resolva $x^{2} + 1 = x + 3$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Subtraia $x$ dos dois lados da equação.

$x^{2} + 1 - x = 3$

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$x^{2} + 1 - x - 3 = 0$

Subtraia $3$ de $1$ .

$x^{2} - x - 2 = 0$

Fatore $x^{2} - x - 2$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 2$ e cuja soma é $- 1$ .

$- 2, 1 + y = x + 3$

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(x - 2) (x + 1) = 0$

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 1 = 0 + y = x + 3$

Defina $x - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Defina $x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Defina $x + 1$ como igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 2) (x + 1) = 0$ verdadeiro.

$x = 2, - 1$

Avalie $y$ quando $x = 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Substitua $2$ por $x$ .

$y = (2) + 3$

Substitua $2$ por $x$ em $y = (2) + 3$ e resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Remova os parênteses.

$y = 2 + 3$

Remova os parênteses.

$y = (2) + 3$

Some $2$ e $3$ .

$y = 5$

Avalie $y$ quando $x = - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Substitua $- 1$ por $x$ .

$y = (- 1) + 3$

Substitua $- 1$ por $x$ em $y = (- 1) + 3$ e resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Remova os parênteses.

$y = - 1 + 3$

Remova os parênteses.

$y = (- 1) + 3$

Some $- 1$ e $3$ .

$y = 2$

A solução para o sistema é o conjunto completo de pares ordenados que são soluções válidas.

$(2, 5)$

$(- 1, 2)$

$(2, 5)$

$(- 1, 2)$

Step 2

A área da região entre as curvas é definida como a integral da curva superior menos a integral da curva inferior sobre cada região. As regiões são determinadas pelos pontos de intersecção das curvas. É possível fazer isso de forma algébrica ou gráfica.

$A r e a = \int_{- 1}^{2} x + 3 d x - \int_{- 1}^{2} x^{2} + 1 d x$

Step 3

Integre para encontrar a área entre $- 1$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Combine as integrais em uma única integral.

$\int_{- 1}^{2} x + 3 - (x^{2} + 1) d x$

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Aplique a propriedade distributiva.

$x + 3 - x^{2} - 1 \cdot 1$

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$x + 3 - x^{2} - 1$

$\int_{- 1}^{2} x + 3 - x^{2} - 1 d x$

Subtraia $1$ de $3$ .

$\int_{- 1}^{2} x - x^{2} + 2 d x$

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{- 1}^{2} x d x + \int_{- 1}^{2} - x^{2} d x + \int_{- 1}^{2} 2 d x$

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{2} + \int_{- 1}^{2} - x^{2} d x + \int_{- 1}^{2} 2 d x$

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{2} - \int_{- 1}^{2} x^{2} d x + \int_{- 1}^{2} 2 d x$

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{2} - (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{2}) + \int_{- 1}^{2} 2 d x$

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{2} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{2}) + \int_{- 1}^{2} 2 d x$

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{2} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{2}) + 2 x]_{- 1}^{2}$

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Combine $\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{2}$ e $2 x]_{- 1}^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + 2 x]_{- 1}^{2} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{2})$

Substitua e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Avalie $\frac{1}{2} x^{2} + 2 x$ em $2$ e em $- 1$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 2 \cdot 2) - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} + 2 \cdot - 1) - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{2})$

Avalie $\frac{x^{3}}{3}$ em $2$ e em $- 1$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 2 \cdot 2) - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} + 2 \cdot - 1) - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot 4 + 2 \cdot 2 - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} + 2 \cdot - 1) - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Combine $\frac{1}{2}$ e $4$ .

$\frac{4}{2} + 2 \cdot 2 - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} + 2 \cdot - 1) - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2} + 2 \cdot 2 - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} + 2 \cdot - 1) - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} + 2 \cdot 2 - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} + 2 \cdot - 1) - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} + 2 \cdot 2 - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} + 2 \cdot - 1) - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Reescreva a expressão.

$\frac{2}{1} + 2 \cdot 2 - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} + 2 \cdot - 1) - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Divida $2$ por $1$ .

$2 + 2 \cdot 2 - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} + 2 \cdot - 1) - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Multiplique $2$ por $2$ .

$2 + 4 - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} + 2 \cdot - 1) - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Some $2$ e $4$ .

$6 - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} + 2 \cdot - 1) - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$6 - (\frac{1}{2} \cdot 1 + 2 \cdot - 1) - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$6 - (\frac{1}{2} + 2 \cdot - 1) - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$6 - (\frac{1}{2} - 2) - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Para escrever $- 2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$6 - (\frac{1}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}) - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Combine $- 2$ e $\frac{2}{2}$ .

$6 - (\frac{1}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}) - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$6 - \frac{1 - 2 \cdot 2}{2} - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$6 - \frac{1 - 4}{2} - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Subtraia $4$ de $1$ .

$6 - \frac{- 3}{2} - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Mova o número negativo para a frente da fração.

$6 - - \frac{3}{2} - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$6 + 1 (\frac{3}{2}) - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Multiplique $\frac{3}{2}$ por $1$ .

$6 + \frac{3}{2} - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Para escrever $6$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$6 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2} - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Combine $6$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{6 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2} - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{6 \cdot 2 + 3}{2} - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Multiplique $6$ por $2$ .

$\frac{12 + 3}{2} - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Some $12$ e $3$ .

$\frac{15}{2} - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$\frac{15}{2} - (\frac{8}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$\frac{15}{2} - (\frac{8}{3} - \frac{- 1}{3})$

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{15}{2} - (\frac{8}{3} - - \frac{1}{3})$

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{15}{2} - (\frac{8}{3} + 1 (\frac{1}{3}))$

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $1$ .

$\frac{15}{2} - (\frac{8}{3} + \frac{1}{3})$

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{15}{2} - \frac{8 + 1}{3}$

Some $8$ e $1$ .

$\frac{15}{2} - \frac{9}{3}$

Cancele o fator comum de $9$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Fatore $3$ de $9$ .

$\frac{15}{2} - \frac{3 \cdot 3}{3}$

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Fatore $3$ de $3$ .

$\frac{15}{2} - \frac{3 \cdot 3}{3 (1)}$

Cancele o fator comum.

$\frac{15}{2} - \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 1}$

Reescreva a expressão.

$\frac{15}{2} - \frac{3}{1}$

Divida $3$ por $1$ .

$\frac{15}{2} - 1 \cdot 3$

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{15}{2} - 3$

Para escrever $- 3$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{15}{2} - 3 \cdot \frac{2}{2}$

Combine $- 3$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{15}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2}$

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{15 - 3 \cdot 2}{2}$

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Multiplique $- 3$ por $2$ .

$\frac{15 - 6}{2}$

Subtraia $6$ de $15$ .

$\frac{9}{2}$

Step 4