Cálculo Exemplos

$\sum_{n = 1}^{50} n (4 n + 3)$

Step 1

Simplifique a soma.

Toque para ver mais passagens...

Aplique a propriedade distributiva.

$n (4 n) + n \cdot 3$

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$4 n \cdot n + n \cdot 3$

Mova $3$ para a esquerda de $n$ .

$4 n \cdot n + 3 \cdot n$

Multiplique $n$ por $n$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Mova $n$ .

$4 (n \cdot n) + 3 \cdot n$

Multiplique $n$ por $n$ .

$4 n^{2} + 3 \cdot n$

$4 n^{2} + 3 n$

Reescreva a soma.

$\sum_{n = 1}^{50} 4 n^{2} + 3 n$

Step 2

Divida a soma em somas menores que se enquadrem nas regras da soma.

$\sum_{n = 1}^{50} 4 n^{2} + 3 n = 4 \sum_{n = 1}^{50} n^{2} + 3 \sum_{n = 1}^{50} n$

Step 3

Avalie $4 \sum_{n = 1}^{50} n^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

A fórmula da soma de um polinômio com grau $2$ é:

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Substitua os valores na fórmula e multiplique pelo termo da frente.

$(4) (\frac{50 (50 + 1) (2 \cdot 50 + 1)}{6})$

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Some $50$ e $1$ .

$4 \frac{50 \cdot 51 (2 \cdot 50 + 1)}{6}$

Combine expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Multiplique $50$ por $51$ .

$4 \frac{2550 (2 \cdot 50 + 1)}{6}$

Multiplique $2$ por $50$ .

$4 \frac{2550 (100 + 1)}{6}$

Some $100$ e $1$ .

$4 \frac{2550 \cdot 101}{6}$

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Multiplique $2550$ por $101$ .

$4 (\frac{257550}{6})$

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Fatore $2$ de $4$ .

$2 (2) \frac{257550}{6}$

Fatore $2$ de $6$ .

$2 \cdot 2 \frac{257550}{2 \cdot 3}$

Cancele o fator comum.

$2 \cdot 2 \frac{257550}{2 \cdot 3}$

Reescreva a expressão.

$2 (\frac{257550}{3})$

Combine $2$ e $\frac{257550}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 257550}{3}$

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Multiplique $2$ por $257550$ .

$\frac{515100}{3}$

Divida $515100$ por $3$ .

$171700$

Step 4

Avalie $3 \sum_{n = 1}^{50} n$ .

Toque para ver mais passagens...

A fórmula da soma de um polinômio com grau $1$ é:

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Substitua os valores na fórmula e multiplique pelo termo da frente.

$(3) (\frac{50 (50 + 1)}{2})$

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Some $50$ e $1$ .

$3 \frac{50 \cdot 51}{2}$

Multiplique $50$ por $51$ .

$3 (\frac{2550}{2})$

Divida $2550$ por $2$ .

$3 \cdot 1275$

Multiplique $3$ por $1275$ .

$3825$

Step 5

Adicione os resultados das somas.

$171700 + 3825$

Step 6

Some $171700$ e $3825$ .

$175525$