Cálculo Exemplos

$\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{6^{n}}$

Etapa 1

A soma de uma série geométrica infinita pode ser encontrada pela fórmula $\frac{a}{1 - r}$ , em que $a$ é o primeiro termo e $r$ é a razão entre os termos sucessivos.

Etapa 2

Encontre a razão dos termos sucessivos substituindo a fórmula $r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ e simplificando.

Toque para ver mais passagens...

Substitua $a_{n}$ e $a_{n + 1}$ na fórmula por $r$ .

$r = \frac{\frac{1}{6^{n + 1}}}{\frac{1}{6^{n}}}$

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$r = \frac{1}{6^{n + 1}} \cdot 6^{n}$

Combine $\frac{1}{6^{n + 1}}$ e $6^{n}$ .

$r = \frac{6^{n}}{6^{n + 1}}$

Cancele o fator comum de $6^{n}$ e $6^{n + 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Fatore $6^{n + 1}$ de $6^{n}$ .

$r = \frac{6^{n + 1} \cdot 6^{n - (n + 1)}}{6^{n + 1}}$

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Multiplique por $1$ .

$r = \frac{6^{n + 1} \cdot 6^{n - (n + 1)}}{6^{n + 1} \cdot 1}$

Cancele o fator comum.

$r = \frac{6^{n + 1} \cdot 6^{n - (n + 1)}}{6^{n + 1} \cdot 1}$

Reescreva a expressão.

$r = \frac{6^{n - (n + 1)}}{1}$

Divida $6^{n - (n + 1)}$ por $1$ .

$r = 6^{n - (n + 1)}$

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Aplique a propriedade distributiva.

$r = 6^{n - n - 1 \cdot 1}$

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$r = 6^{n - n - 1}$

Subtraia $n$ de $n$ .

$r = 6^{0 - 1}$

Subtraia $1$ de $0$ .

$r = 6^{- 1}$

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$r = \frac{1}{6}$

Etapa 3

Since $| r | < 1$ , the series converges.

Etapa 4

Encontre o primeiro termo da série, substituindo o limite inferior e simplificando.

Toque para ver mais passagens...

Substitua $0$ por $n$ em $\frac{1}{6^{n}}$ .

$a = \frac{1}{6^{0}}$

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$a = \frac{1}{1}$

Divida $1$ por $1$ .

$a = 1$

Etapa 5

Substitua os valores da razão e o primeiro termo na fórmula da soma.

$\frac{1}{1 - \frac{1}{6}}$

Etapa 6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{1}{\frac{6}{6} - \frac{1}{6}}$

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{\frac{6 - 1}{6}}$

Subtraia $1$ de $6$ .

$\frac{1}{\frac{5}{6}}$

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$1 (\frac{6}{5})$

Multiplique $\frac{6}{5}$ por $1$ .

$\frac{6}{5}$

Etapa 7

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{6}{5}$

Forma decimal:

$1.2$

Forma de número misto:

$1 \frac{1}{5}$