Cálculo Exemplos

$y = 2 x - x^{2}$ , $y = x$

Step 1

Resolva por substituição para encontrar a intersecção entre as curvas.

Toque para ver mais passagens...

Elimine os lados iguais de cada equação e combine.

$2 x - x^{2} = x$

Resolva $2 x - x^{2} = x$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Mova todos os termos que contêm $x$ para o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Subtraia $x$ dos dois lados da equação.

$2 x - x^{2} - x = 0$

Subtraia $x$ de $2 x$ .

$- x^{2} + x = 0$

Fatore $- x$ de $- x^{2} + x$ .

Toque para ver mais passagens...

Fatore $- x$ de $- x^{2}$ .

$- x \cdot x + x = 0$

Reescreva $x$ como $1 x$ .

$- x \cdot x + 1 x = 0$

Fatore $- x$ de $1 x$ .

$- x \cdot x - x \cdot - 1 = 0$

Fatore $- x$ de $- x (x) - x (- 1)$ .

$- x (x - 1) = 0$

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$x - 1 = 0 + y = x$

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Defina $x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

A solução final são todos os valores que tornam $- x (x - 1) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, 1$

Avalie $y$ quando $x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Substitua $0$ por $x$ .

$y = 0$

Remova os parênteses.

$y = 0$

Avalie $y$ quando $x = 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Substitua $1$ por $x$ .

$y = 1$

Remova os parênteses.

$y = 1$

A solução para o sistema é o conjunto completo de pares ordenados que são soluções válidas.

$(0, 0)$

$(1, 1)$

$(0, 0)$

$(1, 1)$

Step 2

Reordene $2 x$ e $- x^{2}$ .

$y = - x^{2} + 2 x$

Step 3

A área da região entre as curvas é definida como a integral da curva superior menos a integral da curva inferior sobre cada região. As regiões são determinadas pelos pontos de intersecção das curvas. É possível fazer isso de forma algébrica ou gráfica.

$A r e a = \int_{0}^{1} - x^{2} + 2 x d x - \int_{0}^{1} x d x$

Step 4

Integre para encontrar a área entre $0$ e $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Combine as integrais em uma única integral.

$\int_{0}^{1} - x^{2} + 2 x - (x) d x$

Subtraia $x$ de $2 x$ .

$\int_{0}^{1} - x^{2} + x d x$

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{0}^{1} - x^{2} d x + \int_{0}^{1} x d x$

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int_{0}^{1} x^{2} d x + \int_{0}^{1} x d x$

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} x d x$

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} x d x$

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1}$

Substitua e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Avalie $\frac{x^{3}}{3}$ em $1$ e em $0$ .

$- ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) + \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1}$

Avalie $\frac{1}{2} x^{2}$ em $1$ e em $0$ .

$- (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + \frac{1}{2} \cdot 1^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Um elevado a qualquer potência é um.

$- (\frac{1}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + \frac{1}{2} \cdot 1^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$- (\frac{1}{3} - \frac{0}{3}) + \frac{1}{2} \cdot 1^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Cancele o fator comum de $0$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Fatore $3$ de $0$ .

$- (\frac{1}{3} - \frac{3 (0)}{3}) + \frac{1}{2} \cdot 1^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Fatore $3$ de $3$ .

$- (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + \frac{1}{2} \cdot 1^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Cancele o fator comum.

$- (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + \frac{1}{2} \cdot 1^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Reescreva a expressão.

$- (\frac{1}{3} - \frac{0}{1}) + \frac{1}{2} \cdot 1^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Divida $0$ por $1$ .

$- (\frac{1}{3} - 0) + \frac{1}{2} \cdot 1^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$- (\frac{1}{3} + 0) + \frac{1}{2} \cdot 1^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Some $\frac{1}{3}$ e $0$ .

$- \frac{1}{3} + \frac{1}{2} \cdot 1^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Um elevado a qualquer potência é um.

$- \frac{1}{3} + \frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$- \frac{1}{3} + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$- \frac{1}{3} + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0$

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$- \frac{1}{3} + \frac{1}{2} + 0 (\frac{1}{2})$

Multiplique $0$ por $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{3} + \frac{1}{2} + 0$

Some $\frac{1}{2}$ e $0$ .

$- \frac{1}{3} + \frac{1}{2}$

Para escrever $- \frac{1}{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}$

Para escrever $\frac{1}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Escreva cada expressão com um denominador comum de $6$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{2}{3 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Multiplique $3$ por $2$ .

$- \frac{2}{6} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{2}{6} + \frac{3}{2 \cdot 3}$

Multiplique $2$ por $3$ .

$- \frac{2}{6} + \frac{3}{6}$

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 2 + 3}{6}$

Some $- 2$ e $3$ .

$\frac{1}{6}$

Step 5