Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{3}{x - 7}$

Step 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

Toque para ver mais passagens...

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{3}{x - 7}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x - 7}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x - 7})$

Reescreva $\frac{1}{x - 7}$ como ${(x - 7)}^{- 1}$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} ({(x - 7)}^{- 1})$

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x - 7$ .

Toque para ver mais passagens...

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x - 7$ .

$f' (x) = 3 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x - 7))$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$f' (x) = 3 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} (x - 7))$

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - 7$ .

$f' (x) = 3 (- {(x - 7)}^{- 2} \frac{d}{d x} (x - 7))$

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$f' (x) = - 3 ({(x - 7)}^{- 2} \frac{d}{d x} (x - 7))$

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 7$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$f' (x) = - 3 {(x - 7)}^{- 2} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 7))$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = - 3 {(x - 7)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d x} (- 7))$

Como $- 7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 7$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = - 3 {(x - 7)}^{- 2} (1 + 0)$

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Some $1$ e $0$ .

$f' (x) = - 3 {(x - 7)}^{- 2} \cdot 1$

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$f' (x) = - 3 {(x - 7)}^{- 2}$

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = - 3 \frac{1}{{(x - 7)}^{2}}$

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Combine $- 3$ e $\frac{1}{{(x - 7)}^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{- 3}{{(x - 7)}^{2}}$

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = - \frac{3}{{(x - 7)}^{2}}$

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- \frac{3}{{(x - 7)}^{2}}$ .

$- \frac{3}{{(x - 7)}^{2}}$

Step 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- \frac{3}{{(x - 7)}^{2}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- \frac{3}{{(x - 7)}^{2}} = 0$

Defina o numerador como igual a zero.

$3 = 0$

Como $3 \neq 0$ , não há soluções.

Nenhuma solução

Step 3

Não há valores de $x$ no domínio do problema original, em que a derivada é $0$ ou indefinida.

Nenhum ponto crítico encontrado

Step 4

Encontre onde a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Defina o denominador em $\frac{3}{{(x - 7)}^{2}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

${(x - 7)}^{2} = 0$

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Defina $x - 7$ como igual a $0$ .

$x - 7 = 0$

Some $7$ aos dois lados da equação.

$x = 7$

Step 5

Depois de encontrar o ponto que torna a derivada $f' (x) = - \frac{3}{{(x - 7)}^{2}}$ igual a $0$ ou indefinida, o intervalo para verificar onde $f (x) = \frac{3}{x - 7}$ está aumentando e onde está diminuindo é $(- \infty, 7) \cup (7, \infty)$ .

$(- \infty, 7) \cup (7, \infty)$

Step 6

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, 7)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Substitua a variável $x$ por $6$ na expressão.

$f' (6) = - \frac{3}{{((6) - 7)}^{2}}$

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Subtraia $7$ de $6$ .

$f' (6) = - \frac{3}{{(- 1)}^{2}}$

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f' (6) = - \frac{3}{1}$

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Divida $3$ por $1$ .

$f' (6) = - 1 \cdot 3$

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$f' (6) = - 3$

A resposta final é $- 3$ .

$- 3$

Em $x = 6$ , a derivada é $- 3$ . Por ser negativa, a função diminui em $(- \infty, 7)$ .

Decréscimo em $(- \infty, 7)$ , pois $f' (x) < 0$

Step 7

Substitua um valor do intervalo $(7, \infty)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Substitua a variável $x$ por $8$ na expressão.

$f' (8) = - \frac{3}{{((8) - 7)}^{2}}$

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Subtraia $7$ de $8$ .

$f' (8) = - \frac{3}{1^{2}}$

Um elevado a qualquer potência é um.

$f' (8) = - \frac{3}{1}$

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Divida $3$ por $1$ .

$f' (8) = - 1 \cdot 3$

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$f' (8) = - 3$

A resposta final é $- 3$ .

$- 3$

Em $x = 8$ , a derivada é $- 3$ . Por ser negativa, a função diminui em $(7, \infty)$ .

Decréscimo em $(7, \infty)$ , pois $f' (x) < 0$

Step 8

Liste os intervalos em que a função é crescente e decrescente.

Decréscimo em: $(- \infty, 7), (7, \infty)$

Step 9