Cálculo Exemplos

$f (x) = x (x - 9 \sqrt{x})$

Etapa 1

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x (x - 9 x^{\frac{1}{2}}))$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = x - 9 x^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = x \frac{d}{d x} (x - 9 x^{\frac{1}{2}}) + (x - 9 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 9 x^{\frac{1}{2}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{\frac{1}{2}}]$ .

$f' (x) = x (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 9 x^{\frac{1}{2}})) + (x - 9 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = x (1 + \frac{d}{d x} (- 9 x^{\frac{1}{2}})) + (x - 9 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.3.3

Como $- 9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 9 x^{\frac{1}{2}}$ em relação a $x$ é $- 9 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$f' (x) = x (1 - 9 \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}}) + (x - 9 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = x (1 - 9 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + (x - 9 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = x (1 - 9 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})) + (x - 9 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.5

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = x (1 - 9 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})) + (x - 9 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (x) = x (1 - 9 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})) + (x - 9 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.7

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.1.7.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f' (x) = x (1 - 9 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})) + (x - 9 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.7.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$f' (x) = x (1 - 9 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})) + (x - 9 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.8

Combine frações.

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Etapa 1.1.8.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = x (1 - 9 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})) + (x - 9 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.8.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = x (1 - 9 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}) + (x - 9 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.8.3

Combine $- 9$ e $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$f' (x) = x (1 + \frac{- 9 x^{- \frac{1}{2}}}{2}) + (x - 9 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.8.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1.8.4.1

Mova $x^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = x (1 + \frac{- 9}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + (x - 9 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.8.4.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = x (1 - \frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + (x - 9 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = x (1 - \frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + (x - 9 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1$

Etapa 1.1.10

Multiplique $x - 9 x^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$f' (x) = x (1 - \frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + x - 9 x^{\frac{1}{2}}$

Etapa 1.1.11

Simplifique.

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Etapa 1.1.11.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = x \cdot 1 + x (- \frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + x - 9 x^{\frac{1}{2}}$

Etapa 1.1.11.2

Combine os termos.

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Etapa 1.1.11.2.1

Multiplique $x$ por $1$ .

$f' (x) = x + x (- \frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + x - 9 x^{\frac{1}{2}}$

Etapa 1.1.11.2.2

Combine $x$ e $\frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = x - \frac{x \cdot 9}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x - 9 x^{\frac{1}{2}}$

Etapa 1.1.11.2.3

Mova $9$ para a esquerda de $x$ .

$f' (x) = x - \frac{9 \cdot x}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x - 9 x^{\frac{1}{2}}$

Etapa 1.1.11.2.4

Mova $x^{\frac{1}{2}}$ para o numerador usando a regra do expoente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$f' (x) = x - \frac{9 x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2} + x - 9 x^{\frac{1}{2}}$

Etapa 1.1.11.2.5

Multiplique $x$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 1.1.11.2.5.1

Mova $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = x - \frac{9 (x^{- \frac{1}{2}} x)}{2} + x - 9 x^{\frac{1}{2}}$

Etapa 1.1.11.2.5.2

Multiplique $x^{- \frac{1}{2}}$ por $x$ .

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Etapa 1.1.11.2.5.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f' (x) = x - \frac{9 (x^{- \frac{1}{2}} x)}{2} + x - 9 x^{\frac{1}{2}}$

Etapa 1.1.11.2.5.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (x) = x - \frac{9 x^{- \frac{1}{2} + 1}}{2} + x - 9 x^{\frac{1}{2}}$

Etapa 1.1.11.2.5.3

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$f' (x) = x - \frac{9 x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}{2} + x - 9 x^{\frac{1}{2}}$

Etapa 1.1.11.2.5.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (x) = x - \frac{9 x^{\frac{- 1 + 2}{2}}}{2} + x - 9 x^{\frac{1}{2}}$

Etapa 1.1.11.2.5.5

Some $- 1$ e $2$ .

$f' (x) = x - \frac{9 x^{\frac{1}{2}}}{2} + x - 9 x^{\frac{1}{2}}$

Etapa 1.1.11.2.6

Some $x$ e $x$ .

$f' (x) = 2 x - \frac{9 x^{\frac{1}{2}}}{2} - 9 x^{\frac{1}{2}}$

Etapa 1.1.11.2.7

Para escrever $- 9 x^{\frac{1}{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = 2 x - \frac{9 x^{\frac{1}{2}}}{2} - 9 x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 1.1.11.2.8

Combine $- 9 x^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = 2 x - \frac{9 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{- 9 x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2}$

Etapa 1.1.11.2.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (x) = 2 x + \frac{- 9 x^{\frac{1}{2}} - 9 x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2}$

Etapa 1.1.11.2.10

Multiplique $2$ por $- 9$ .

$f' (x) = 2 x + \frac{- 9 x^{\frac{1}{2}} - 18 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 1.1.11.2.11

Subtraia $18 x^{\frac{1}{2}}$ de $- 9 x^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = 2 x + \frac{- 27 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 1.1.11.2.12

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = 2 x - \frac{27 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 1.2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x - \frac{27 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{27 x^{\frac{1}{2}}}{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- \frac{27 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Etapa 1.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Etapa 1.2.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- \frac{27 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Etapa 1.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- \frac{27 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Etapa 1.2.2.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$f'' (x) = 2 + \frac{d}{d x} (- \frac{27 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Etapa 1.2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{27 x^{\frac{1}{2}}}{2}]$ .

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Etapa 1.2.3.1

Como $- \frac{27}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{27 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{27}{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$f'' (x) = 2 - \frac{27}{2} \cdot \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}}$

Etapa 1.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = 2 - \frac{27}{2} \cdot (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Etapa 1.2.3.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = 2 - \frac{27}{2} \cdot (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Etapa 1.2.3.4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = 2 - \frac{27}{2} \cdot (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Etapa 1.2.3.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = 2 - \frac{27}{2} \cdot (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Etapa 1.2.3.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.2.3.6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f'' (x) = 2 - \frac{27}{2} \cdot (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Etapa 1.2.3.6.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$f'' (x) = 2 - \frac{27}{2} \cdot (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Etapa 1.2.3.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = 2 - \frac{27}{2} \cdot (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Etapa 1.2.3.8

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = 2 - \frac{27}{2} \cdot \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 1.2.3.9

Multiplique $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ por $\frac{27}{2}$ .

$f'' (x) = 2 - \frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot 27}{2 \cdot 2}$

Etapa 1.2.3.10

Multiplique $2$ por $2$ .

$f'' (x) = 2 - \frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot 27}{4}$

Etapa 1.2.3.11

Mova $27$ para a esquerda de $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = 2 - \frac{27 \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{4}$

Etapa 1.2.3.12

Mova $x^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 2 - \frac{27}{4 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $2 - \frac{27}{4 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$2 - \frac{27}{4 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $2 - \frac{27}{4 x^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$2 - \frac{27}{4 x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Etapa 2.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$- \frac{27}{4 x^{\frac{1}{2}}} = - 2$

Etapa 2.3

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 2.3.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$4 x^{\frac{1}{2}}, 1$

Etapa 2.3.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$4 x^{\frac{1}{2}}$

Etapa 2.4

Multiplique cada termo em $- \frac{27}{4 x^{\frac{1}{2}}} = - 2$ por $4 x^{\frac{1}{2}}$ para eliminar as frações.

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Etapa 2.4.1

Multiplique cada termo em $- \frac{27}{4 x^{\frac{1}{2}}} = - 2$ por $4 x^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{27}{4 x^{\frac{1}{2}}} (4 x^{\frac{1}{2}}) = - 2 (4 x^{\frac{1}{2}})$

Etapa 2.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.4.2.1

Cancele o fator comum de $4 x^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 2.4.2.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{27}{4 x^{\frac{1}{2}}}$ para o numerador.

$\frac{- 27}{4 x^{\frac{1}{2}}} (4 x^{\frac{1}{2}}) = - 2 (4 x^{\frac{1}{2}})$

Etapa 2.4.2.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{- 27}{4 x^{\frac{1}{2}}} (4 x^{\frac{1}{2}}) = - 2 (4 x^{\frac{1}{2}})$

Etapa 2.4.2.1.3

Reescreva a expressão.

$- 27 = - 2 (4 x^{\frac{1}{2}})$

Etapa 2.4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.4.3.1

Multiplique $4$ por $- 2$ .

$- 27 = - 8 x^{\frac{1}{2}}$

Etapa 2.5

Resolva a equação.

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Etapa 2.5.1

Reescreva a equação como $- 8 x^{\frac{1}{2}} = - 27$ .

$- 8 x^{\frac{1}{2}} = - 27$

Etapa 2.5.2

Divida cada termo em $- 8 x^{\frac{1}{2}} = - 27$ por $- 8$ e simplifique.

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Etapa 2.5.2.1

Divida cada termo em $- 8 x^{\frac{1}{2}} = - 27$ por $- 8$ .

$\frac{- 8 x^{\frac{1}{2}}}{- 8} = \frac{- 27}{- 8}$

Etapa 2.5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.5.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 8 x^{\frac{1}{2}}}{- 8} = \frac{- 27}{- 8}$

Etapa 2.5.2.2.2

Divida $x^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} = \frac{- 27}{- 8}$

Etapa 2.5.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.3.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$x^{\frac{1}{2}} = \frac{27}{8}$

Etapa 2.5.3

Eleve cada lado da equação à potência de $2$ para eliminar o expoente fracionário no lado esquerdo.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{27}{8})}^{2}$

Etapa 2.5.4

Simplifique o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.4.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.4.1.1

Simplifique ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.4.1.1.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.4.1.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{27}{8})}^{2}$

Etapa 2.5.4.1.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.4.1.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{27}{8})}^{2}$

Etapa 2.5.4.1.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$x^{1} = {(\frac{27}{8})}^{2}$

Etapa 2.5.4.1.1.2

Simplifique.

$x = {(\frac{27}{8})}^{2}$

Etapa 2.5.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.4.2.1

Simplifique ${(\frac{27}{8})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.4.2.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{27}{8}$ .

$x = \frac{27^{2}}{8^{2}}$

Etapa 2.5.4.2.1.2

Eleve $27$ à potência de $2$ .

$x = \frac{729}{8^{2}}$

Etapa 2.5.4.2.1.3

Eleve $8$ à potência de $2$ .

$x = \frac{729}{64}$

Etapa 3

Encontre os pontos em que a segunda derivada é $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Substitua $\frac{729}{64}$ em $f (x) = x (x - 9 \sqrt{x})$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{729}{64}$ na expressão.

$f (\frac{729}{64}) = (\frac{729}{64}) ((\frac{729}{64}) - 9 \sqrt{\frac{729}{64}})$

Etapa 3.1.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 3.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1.1

Reescreva $\sqrt{\frac{729}{64}}$ como $\frac{\sqrt{729}}{\sqrt{64}}$ .

$f (\frac{729}{64}) = \frac{729}{64} \cdot (\frac{729}{64} - 9 \frac{\sqrt{729}}{\sqrt{64}})$

Etapa 3.1.2.1.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1.2.1

Reescreva $729$ como $27^{2}$ .

$f (\frac{729}{64}) = \frac{729}{64} \cdot (\frac{729}{64} - 9 \frac{\sqrt{27^{2}}}{\sqrt{64}})$

Etapa 3.1.2.1.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$f (\frac{729}{64}) = \frac{729}{64} \cdot (\frac{729}{64} - 9 \frac{27}{\sqrt{64}})$

Etapa 3.1.2.1.3

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1.3.1

Reescreva $64$ como $8^{2}$ .

$f (\frac{729}{64}) = \frac{729}{64} \cdot (\frac{729}{64} - 9 \frac{27}{\sqrt{8^{2}}})$

Etapa 3.1.2.1.3.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$f (\frac{729}{64}) = \frac{729}{64} \cdot (\frac{729}{64} - 9 (\frac{27}{8}))$

Etapa 3.1.2.1.4

Multiplique $- 9 (\frac{27}{8})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1.4.1

Combine $- 9$ e $\frac{27}{8}$ .

$f (\frac{729}{64}) = \frac{729}{64} \cdot (\frac{729}{64} + \frac{- 9 \cdot 27}{8})$

Etapa 3.1.2.1.4.2

Multiplique $- 9$ por $27$ .

$f (\frac{729}{64}) = \frac{729}{64} \cdot (\frac{729}{64} + \frac{- 243}{8})$

Etapa 3.1.2.1.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (\frac{729}{64}) = \frac{729}{64} \cdot (\frac{729}{64} - \frac{243}{8})$

Etapa 3.1.2.2

Para escrever $- \frac{243}{8}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{8}{8}$ .

$f (\frac{729}{64}) = \frac{729}{64} \cdot (\frac{729}{64} - \frac{243}{8} \cdot \frac{8}{8})$

Etapa 3.1.2.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $64$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.3.1

Multiplique $\frac{243}{8}$ por $\frac{8}{8}$ .

$f (\frac{729}{64}) = \frac{729}{64} \cdot (\frac{729}{64} - \frac{243 \cdot 8}{8 \cdot 8})$

Etapa 3.1.2.3.2

Multiplique $8$ por $8$ .

$f (\frac{729}{64}) = \frac{729}{64} \cdot (\frac{729}{64} - \frac{243 \cdot 8}{64})$

Etapa 3.1.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{729}{64}) = \frac{729}{64} \cdot \frac{729 - 243 \cdot 8}{64}$

Etapa 3.1.2.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.1.2.5.1

Multiplique $- 243$ por $8$ .

$f (\frac{729}{64}) = \frac{729}{64} \cdot \frac{729 - 1944}{64}$

Etapa 3.1.2.5.2

Subtraia $1944$ de $729$ .

$f (\frac{729}{64}) = \frac{729}{64} \cdot \frac{- 1215}{64}$

Etapa 3.1.2.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (\frac{729}{64}) = \frac{729}{64} \cdot (- \frac{1215}{64})$

Etapa 3.1.2.7

Multiplique $\frac{729}{64} (- \frac{1215}{64})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.7.1

Multiplique $\frac{729}{64}$ por $\frac{1215}{64}$ .

$f (\frac{729}{64}) = - \frac{729 \cdot 1215}{64 \cdot 64}$

Etapa 3.1.2.7.2

Multiplique $729$ por $1215$ .

$f (\frac{729}{64}) = - \frac{885735}{64 \cdot 64}$

Etapa 3.1.2.7.3

Multiplique $64$ por $64$ .

$f (\frac{729}{64}) = - \frac{885735}{4096}$

Etapa 3.1.2.8

A resposta final é $- \frac{885735}{4096}$ .

$- \frac{885735}{4096}$

Etapa 3.2

O ponto encontrado ao substituir $\frac{729}{64}$ em $f (x) = x (x - 9 \sqrt{x})$ é $(\frac{729}{64}, - \frac{885735}{4096})$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(\frac{729}{64}, - \frac{885735}{4096})$

Etapa 4

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos em torno dos pontos que poderiam ser pontos de inflexão.

$(- \infty, \frac{729}{64}) \cup (\frac{729}{64}, \infty)$

Etapa 5

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, \frac{729}{64})$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $11.290625$ na expressão.

$f'' (11.290625) = 2 - \frac{27}{4 {(11.290625)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.1.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 5.2.1.1.1

Reescreva $11.290625$ como ${3.36015252}^{2}$ .

$f'' (11.290625) = 2 - \frac{27}{4 \cdot {({3.36015252}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 5.2.1.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (11.290625) = 2 - \frac{27}{4 \cdot {3.36015252}^{2 (\frac{1}{2})}}$

Etapa 5.2.1.1.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.2.1.1.3.1

Cancele o fator comum.

$f'' (11.290625) = 2 - \frac{27}{4 \cdot {3.36015252}^{2 (\frac{1}{2})}}$

Etapa 5.2.1.1.3.2

Reescreva a expressão.

$f'' (11.290625) = 2 - \frac{27}{4 \cdot 3.36015252}$

Etapa 5.2.1.1.4

Avalie o expoente.

$f'' (11.290625) = 2 - \frac{27}{4 \cdot 3.36015252}$

Etapa 5.2.1.2

Multiplique $4$ por $3.36015252$ .

$f'' (11.290625) = 2 - \frac{27}{13.4406101}$

Etapa 5.2.1.3

Divida $27$ por $13.4406101$ .

$f'' (11.290625) = 2 - 1 \cdot 2.00883738$

Etapa 5.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $2.00883738$ .

$f'' (11.290625) = 2 - 2.00883738$

Etapa 5.2.2

Subtraia $2.00883738$ de $2$ .

$f'' (11.290625) = - 0.00883738$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $- 0.00883738$ .

$- 0.00883738$

Etapa 5.3

Em $11.290625$ , a segunda derivada é $- 0.00883738$ . Por ser negativa, a segunda derivada diminui no intervalo $(- \infty, \frac{729}{64})$ .

Decréscimo em $(- \infty, \frac{729}{64})$ , pois $f'' (x) < 0$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(\frac{729}{64}, \infty)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $11.490625$ na expressão.

$f'' (11.490625) = 2 - \frac{27}{4 {(11.490625)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 6.2.1.1.1

Reescreva $11.490625$ como ${3.38978244}^{2}$ .

$f'' (11.490625) = 2 - \frac{27}{4 \cdot {({3.38978244}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 6.2.1.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (11.490625) = 2 - \frac{27}{4 \cdot {3.38978244}^{2 (\frac{1}{2})}}$

Etapa 6.2.1.1.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.2.1.1.3.1

Cancele o fator comum.

$f'' (11.490625) = 2 - \frac{27}{4 \cdot {3.38978244}^{2 (\frac{1}{2})}}$

Etapa 6.2.1.1.3.2

Reescreva a expressão.

$f'' (11.490625) = 2 - \frac{27}{4 \cdot 3.38978244}$

Etapa 6.2.1.1.4

Avalie o expoente.

$f'' (11.490625) = 2 - \frac{27}{4 \cdot 3.38978244}$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $4$ por $3.38978244$ .

$f'' (11.490625) = 2 - \frac{27}{13.55912976}$

Etapa 6.2.1.3

Divida $27$ por $13.55912976$ .

$f'' (11.490625) = 2 - 1 \cdot 1.99127823$

Etapa 6.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $1.99127823$ .

$f'' (11.490625) = 2 - 1.99127823$

Etapa 6.2.2

Subtraia $1.99127823$ de $2$ .

$f'' (11.490625) = 0.00872176$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $0.00872176$ .

$0.00872176$

Etapa 6.3

Em $11.490625$ , a segunda derivada é $0.00872176$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(\frac{729}{64}, \infty)$ .

Acréscimo em $(\frac{729}{64}, \infty)$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 7

O ponto de inflexão é um ponto em uma curva em que a concavidade muda do sinal de adição para o de subtração ou vice-versa. Neste caso, o ponto de inflexão é $(\frac{729}{64}, - \frac{885735}{4096})$ .

$(\frac{729}{64}, - \frac{885735}{4096})$

Etapa 8