Cálculo Exemplos

$e^{7 x}$

Step 1

Escreva $e^{7 x}$ como uma função.

$f (x) = e^{7 x}$

Step 2

Encontre a primeira derivada.

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Encontre a primeira derivada.

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Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 7 x$ .

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Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $7 x$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (7 x)$

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$f' (x) = e^{u} \frac{d}{d x} (7 x)$

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $7 x$ .

$f' (x) = e^{7 x} \frac{d}{d x} (7 x)$

Diferencie.

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Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7 x$ em relação a $x$ é $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = e^{7 x} (7 \frac{d}{d x} (x))$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = e^{7 x} (7 \cdot 1)$

Simplifique a expressão.

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Multiplique $7$ por $1$ .

$f' (x) = e^{7 x} \cdot 7$

Mova $7$ para a esquerda de $e^{7 x}$ .

$f' (x) = 7 e^{7 x}$

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $7 e^{7 x}$ .

$7 e^{7 x}$

Step 3

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $7 e^{7 x} = 0$ .

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Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$7 e^{7 x} = 0$

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (7 e^{7 x}) = \ln (0)$

Não é possível resolver a equação, porque $\ln (0)$ é indefinida.

Indefinido

Não há uma solução para $7 e^{7 x} = 0$

Nenhuma solução

Step 4

Não há valores de $x$ no domínio do problema original, em que a derivada é $0$ ou indefinida.

Nenhum ponto crítico encontrado

Step 5

Nenhum ponto torna a derivada $f' (x) = 7 e^{7 x}$ igual a $0$ ou indefinida. O intervalo para verificar se $f (x) = e^{7 x}$ está aumentando ou diminuindo é $(- \infty, \infty)$ .

$(- \infty, \infty)$

Step 6

Substitua qualquer número, como $1$ , no intervalo $(- \infty, \infty)$ na derivada $f' (x) = 7 e^{7 x}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo. Se o resultado for negativo, o gráfico está diminuindo no intervalo $(- \infty, \infty)$ . Se o resultado for positivo, o gráfico está aumentando no intervalo $(- \infty, \infty)$ .

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Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f' (1) = 7 e^{7 (1)}$

Simplifique o resultado.

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Multiplique $7$ por $1$ .

$f' (1) = 7 e^{7}$

A resposta final é $7 e^{7}$ .

$7 e^{7}$

Step 7

O resultado da substituição de $1$ em $f' (x) = 7 e^{7 x}$ é $7 e^{7}$ , que é positivo, então o gráfico aumenta no intervalo $(- \infty, \infty)$ .

Acréscimo em $(- \infty, \infty)$ , pois $7 e^{7 x} > 0$

Step 8

Acréscimo sobre o intervalo $(- \infty, \infty)$ significa que a função é sempre crescente.

Sempre crescente

Step 9