Cálculo Exemplos

$3 x^{2} - 6 x$

Step 1

Escreva $3 x^{2} - 6 x$ como uma função.

$f (x) = 3 x^{2} - 6 x$

Step 2

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{2} - 6 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x)$

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{2}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x)$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 6 x)$

Multiplique $2$ por $3$ .

$f' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (- 6 x)$

Avalie $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 6 x$ em relação a $x$ é $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 6 x - 6 \frac{d}{d x} x$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = 6 x - 6 \cdot 1$

Multiplique $- 6$ por $1$ .

$f' (x) = 6 x - 6$

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $6 x - 6$ .

$6 x - 6$

Step 3

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $6 x - 6 = 0$ .

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Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$6 x - 6 = 0$

Some $6$ aos dois lados da equação.

$6 x = 6$

Divida cada termo em $6 x = 6$ por $6$ e simplifique.

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Divida cada termo em $6 x = 6$ por $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{6}{6}$

Simplifique o lado esquerdo.

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Cancele o fator comum de $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Cancele o fator comum.

$\frac{6 x}{6} = \frac{6}{6}$

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{6}{6}$

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Divida $6$ por $6$ .

$x = 1$

Step 4

Os valores, que tornam a derivada igual a $0$ , são $1$ .

$1$

Step 5

Depois de encontrar o ponto que torna a derivada $f' (x) = 6 x - 6$ igual a $0$ ou indefinida, o intervalo para verificar onde $f (x) = 3 x^{2} - 6 x$ está aumentando e onde está diminuindo é $(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$ .

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Step 6

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, 1)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f' (0) = 6 (0) - 6$

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Multiplique $6$ por $0$ .

$f' (0) = 0 - 6$

Subtraia $6$ de $0$ .

$f' (0) = - 6$

A resposta final é $- 6$ .

$- 6$

Em $x = 0$ , a derivada é $- 6$ . Por ser negativa, a função diminui em $(- \infty, 1)$ .

Decréscimo em $(- \infty, 1)$ , pois $f' (x) < 0$

Step 7

Substitua um valor do intervalo $(1, \infty)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f' (2) = 6 (2) - 6$

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Multiplique $6$ por $2$ .

$f' (2) = 12 - 6$

Subtraia $6$ de $12$ .

$f' (2) = 6$

A resposta final é $6$ .

$6$

Em $x = 2$ , a derivada é $6$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(1, \infty)$ .

Acréscimo em $(1, \infty)$ , pois $f' (x) > 0$

Step 8

Liste os intervalos em que a função é crescente e decrescente.

Acréscimo em: $(1, \infty)$

Decréscimo em: $(- \infty, 1)$

Step 9