Cálculo Exemplos

$\ln (x^{2} + 16)$

Step 1

Escreva $\ln (x^{2} + 16)$ como uma função.

$f (x) = \ln (x^{2} + 16)$

Step 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x^{2} + 16$ .

Toque para ver mais passagens...

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} + 16$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (\ln (u)) \frac{d}{d x} (x^{2} + 16)$

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$f' (x) = \frac{1}{u} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 16)$

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + 16$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} + 16} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 16)$

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 16$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} + 16} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (16))$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} + 16} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (16))$

Como $16$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $16$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} + 16} \cdot (2 x + 0)$

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Some $2 x$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} + 16} \cdot (2 x)$

Combine $2$ e $\frac{1}{x^{2} + 16}$ .

$f' (x) = \frac{2}{x^{2} + 16} \cdot x$

Combine $\frac{2}{x^{2} + 16}$ e $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x}{x^{2} + 16}$

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{2 x}{x^{2} + 16}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 16}]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{x}{x^{2} + 16})$

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = x^{2} + 16$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{2} + 16) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 16)}{{(x^{2} + 16)}^{2}})$

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{2} + 16) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 16)}{{(x^{2} + 16)}^{2}})$

Multiplique $x^{2} + 16$ por $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 16 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 16)}{{(x^{2} + 16)}^{2}})$

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 16$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 16 - x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (16))}{{(x^{2} + 16)}^{2}})$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 16 - x (2 x + \frac{d}{d x} (16))}{{(x^{2} + 16)}^{2}})$

Como $16$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $16$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 16 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 16)}^{2}})$

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Some $2 x$ e $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 16 - x (2 x)}{{(x^{2} + 16)}^{2}})$

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 16 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 16)}^{2}})$

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 16 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 16)}^{2}})$

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 16 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 16)}^{2}})$

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 16 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 16)}^{2}})$

Some $1$ e $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 16 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 16)}^{2}})$

Subtraia $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{- x^{2} + 16}{{(x^{2} + 16)}^{2}})$

Combine $2$ e $\frac{- x^{2} + 16}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2} + 16)}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2}) + 2 \cdot 16}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 2 \cdot 16}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Multiplique $2$ por $16$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 32}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{- 2 x^{2} + 32}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 32}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{- 2 x^{2} + 32}{{(x^{2} + 16)}^{2}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 32}{{(x^{2} + 16)}^{2}} = 0$

Defina o numerador como igual a zero.

$- 2 x^{2} + 32 = 0$

Resolva a equação para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Subtraia $32$ dos dois lados da equação.

$- 2 x^{2} = - 32$

Divida cada termo em $- 2 x^{2} = - 32$ por $- 2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Divida cada termo em $- 2 x^{2} = - 32$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 32}{- 2}$

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Cancele o fator comum de $- 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Cancele o fator comum.

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 32}{- 2}$

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 32}{- 2}$

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Divida $- 32$ por $- 2$ .

$x^{2} = 16$

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{16}$

Simplifique $\pm \sqrt{16}$ .

Toque para ver mais passagens...

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{4^{2}}$

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 4$

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 4$

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 4$

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 4, - 4$

Step 3

Encontre o domínio de $f (x) = \ln (x^{2} + 16)$ .

Toque para ver mais passagens...

Defina o argumento em $\ln (x^{2} + 16)$ como maior do que $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$x^{2} + 16 > 0$

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Subtraia $16$ dos dois lados da desigualdade.

$x^{2} > - 16$

Como o lado esquerdo tem uma potência par, ele é sempre positivo para todos os números reais.

Todos os números reais

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Step 4

Crie intervalos em torno dos valores $x$ , em que a segunda derivada é zero ou indefinida.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 4) \cup (4, \infty)$

Step 5

Substitua qualquer número do intervalo $(- \infty, - 4)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Substitua a variável $x$ por $- 6$ na expressão.

$f'' (- 6) = \frac{- 2 {(- 6)}^{2} + 32}{{({(- 6)}^{2} + 16)}^{2}}$

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Eleve $- 6$ à potência de $2$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 2 \cdot 36 + 32}{{({(- 6)}^{2} + 16)}^{2}}$

Multiplique $- 2$ por $36$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 72 + 32}{{({(- 6)}^{2} + 16)}^{2}}$

Some $- 72$ e $32$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 40}{{({(- 6)}^{2} + 16)}^{2}}$

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Eleve $- 6$ à potência de $2$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 40}{{(36 + 16)}^{2}}$

Some $36$ e $16$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 40}{52^{2}}$

Eleve $52$ à potência de $2$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 40}{2704}$

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Cancele o fator comum de $- 40$ e $2704$ .

Toque para ver mais passagens...

Fatore $8$ de $- 40$ .

$f'' (- 6) = \frac{8 (- 5)}{2704}$

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Fatore $8$ de $2704$ .

$f'' (- 6) = \frac{8 \cdot - 5}{8 \cdot 338}$

Cancele o fator comum.

$f'' (- 6) = \frac{8 \cdot - 5}{8 \cdot 338}$

Reescreva a expressão.

$f'' (- 6) = \frac{- 5}{338}$

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (- 6) = - \frac{5}{338}$

A resposta final é $- \frac{5}{338}$ .

$- \frac{5}{338}$

O gráfico tem concavidade para baixo no intervalo $(- \infty, - 4)$ porque $f'' (- 6)$ é negativo.

Concavidade para baixo em $(- \infty, - 4)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Step 6

Substitua qualquer número do intervalo $(- 4, 4)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f'' (0) = \frac{- 2 {(0)}^{2} + 32}{{({(0)}^{2} + 16)}^{2}}$

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f'' (0) = \frac{- 2 \cdot 0 + 32}{{(0^{2} + 16)}^{2}}$

Multiplique $- 2$ por $0$ .

$f'' (0) = \frac{0 + 32}{{(0^{2} + 16)}^{2}}$

Some $0$ e $32$ .

$f'' (0) = \frac{32}{{(0^{2} + 16)}^{2}}$

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f'' (0) = \frac{32}{{(0 + 16)}^{2}}$

Some $0$ e $16$ .

$f'' (0) = \frac{32}{16^{2}}$

Eleve $16$ à potência de $2$ .

$f'' (0) = \frac{32}{256}$

Cancele o fator comum de $32$ e $256$ .

Toque para ver mais passagens...

Fatore $32$ de $32$ .

$f'' (0) = \frac{32 (1)}{256}$

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Fatore $32$ de $256$ .

$f'' (0) = \frac{32 \cdot 1}{32 \cdot 8}$

Cancele o fator comum.

$f'' (0) = \frac{32 \cdot 1}{32 \cdot 8}$

Reescreva a expressão.

$f'' (0) = \frac{1}{8}$

A resposta final é $\frac{1}{8}$ .

$\frac{1}{8}$

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $(- 4, 4)$ porque $f'' (0)$ é positivo.

Concavidade para cima em $(- 4, 4)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Step 7

Substitua qualquer número do intervalo $(4, \infty)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Substitua a variável $x$ por $6$ na expressão.

$f'' (6) = \frac{- 2 {(6)}^{2} + 32}{{({(6)}^{2} + 16)}^{2}}$

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Eleve $6$ à potência de $2$ .

$f'' (6) = \frac{- 2 \cdot 36 + 32}{{(6^{2} + 16)}^{2}}$

Multiplique $- 2$ por $36$ .

$f'' (6) = \frac{- 72 + 32}{{(6^{2} + 16)}^{2}}$

Some $- 72$ e $32$ .

$f'' (6) = \frac{- 40}{{(6^{2} + 16)}^{2}}$

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Eleve $6$ à potência de $2$ .

$f'' (6) = \frac{- 40}{{(36 + 16)}^{2}}$

Some $36$ e $16$ .

$f'' (6) = \frac{- 40}{52^{2}}$

Eleve $52$ à potência de $2$ .

$f'' (6) = \frac{- 40}{2704}$

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Cancele o fator comum de $- 40$ e $2704$ .

Toque para ver mais passagens...

Fatore $8$ de $- 40$ .

$f'' (6) = \frac{8 (- 5)}{2704}$

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Fatore $8$ de $2704$ .

$f'' (6) = \frac{8 \cdot - 5}{8 \cdot 338}$

Cancele o fator comum.

$f'' (6) = \frac{8 \cdot - 5}{8 \cdot 338}$

Reescreva a expressão.

$f'' (6) = \frac{- 5}{338}$

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (6) = - \frac{5}{338}$

A resposta final é $- \frac{5}{338}$ .

$- \frac{5}{338}$

O gráfico tem concavidade para baixo no intervalo $(4, \infty)$ porque $f'' (6)$ é negativo.

Concavidade para baixo em $(4, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Step 8

O gráfico tem concavidade para baixo quando a segunda derivada é negativa e concavidade para cima quando a segunda derivada é positiva.

Concavidade para baixo em $(- \infty, - 4)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Concavidade para cima em $(- 4, 4)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Concavidade para baixo em $(4, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Step 9