Cálculo Exemplos

$y = \sqrt{64 - x^{2}}$ , $y = 0$

Step 1

Resolva por substituição para encontrar a intersecção entre as curvas.

Toque para ver mais passagens...

Elimine os lados iguais de cada equação e combine.

$\sqrt{64 - x^{2}} = 0$

Resolva $\sqrt{64 - x^{2}} = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${\sqrt{64 - x^{2}}}^{2} = 0^{2}$

Simplifique cada lado da equação.

Toque para ver mais passagens...

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{64 - x^{2}}$ como ${(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Simplifique ${({(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Multiplique os expoentes em ${({(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Cancele o fator comum.

${(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Reescreva a expressão.

${(64 - x^{2})}^{1} = 0^{2}$

Simplifique.

$64 - x^{2} = 0^{2}$

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$64 - x^{2} = 0$

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Subtraia $64$ dos dois lados da equação.

$- x^{2} = - 64$

Divida cada termo em $- x^{2} = - 64$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Divida cada termo em $- x^{2} = - 64$ por $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 64}{- 1}$

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 64}{- 1}$

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 64}{- 1}$

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Divida $- 64$ por $- 1$ .

$x^{2} = 64$

Calcule a raiz quadrada dos dois lados da equação para eliminar o expoente do lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{64}$

Simplifique $\pm \sqrt{64}$ .

Toque para ver mais passagens...

Reescreva $64$ como $8^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{8^{2}}$

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 8$

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 8$

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 8$

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 8, - 8$

Substitua $8$ por $x$ .

$y = 0$

A solução para o sistema é o conjunto completo de pares ordenados que são soluções válidas.

$(8, 0)$

$(- 8, 0)$

$(8, 0)$

$(- 8, 0)$

Step 2

Simplifique $\sqrt{64 - x^{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Reescreva $64$ como $8^{2}$ .

$y = \sqrt{8^{2} - x^{2}}$

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 8$ e $b = x$ .

$y = \sqrt{(8 + x) (8 - x)}$

Step 3

A área da região entre as curvas é definida como a integral da curva superior menos a integral da curva inferior sobre cada região. As regiões são determinadas pelos pontos de intersecção das curvas. É possível fazer isso de forma algébrica ou gráfica.

$A r e a = \int_{- 8}^{8} \sqrt{(8 + x) (8 - x)} d x - \int_{- 8}^{8} 0 d x$

Step 4

Integre para encontrar a área entre $- 8$ e $8$ .

Toque para ver mais passagens...

Combine as integrais em uma única integral.

$\int_{- 8}^{8} \sqrt{(8 + x) (8 - x)} - (0) d x$

Subtraia $0$ de $\sqrt{(8 + x) (8 - x)}$ .

$\int_{- 8}^{8} \sqrt{(8 + x) (8 - x)} d x$

Complete o quadrado.

Toque para ver mais passagens...

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Expanda $(8 + x) (8 - x)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Aplique a propriedade distributiva.

$8 (8 - x) + x (8 - x)$

Aplique a propriedade distributiva.

$8 \cdot 8 + 8 (- x) + x (8 - x)$

Aplique a propriedade distributiva.

$8 \cdot 8 + 8 (- x) + x \cdot 8 + x (- x)$

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Multiplique $8$ por $8$ .

$64 + 8 (- x) + x \cdot 8 + x (- x)$

Multiplique $- 1$ por $8$ .

$64 - 8 x + x \cdot 8 + x (- x)$

Mova $8$ para a esquerda de $x$ .

$64 - 8 x + 8 \cdot x + x (- x)$

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$64 - 8 x + 8 x - x \cdot x$

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Mova $x$ .

$64 - 8 x + 8 x - (x \cdot x)$

Multiplique $x$ por $x$ .

$64 - 8 x + 8 x - x^{2}$

Some $- 8 x$ e $8 x$ .

$64 + 0 - x^{2}$

Some $64$ e $0$ .

$64 - x^{2}$

Reordene $64$ e $- x^{2}$ .

$- x^{2} + 64$

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = - 1$

$b = 0$

$c = 64$

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{0}{2 \cdot - 1}$

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Cancele o fator comum de $0$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Fatore $2$ de $0$ .

$d = \frac{2 (0)}{2 \cdot - 1}$

Mova o número negativo do denominador de $\frac{0}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 0$

Reescreva $- 1 \cdot 0$ como $- 0$ .

$d = - 0$

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$d = 0$

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 64 - \frac{0^{2}}{4 \cdot - 1}$

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$e = 64 - \frac{0}{4 \cdot - 1}$

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$e = 64 - \frac{0}{- 4}$

Divida $0$ por $- 4$ .

$e = 64 - 0$

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$e = 64 + 0$

Some $64$ e $0$ .

$e = 64$

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice $- {(x + 0)}^{2} + 64$ .

$\int_{- 8}^{8} \sqrt{- {(x + 0)}^{2} + 64} d x$

Deixe $u_{1} = x + 0$ . Depois, $d u_{1} = d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Deixe $u_{1} = x + 0$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Diferencie $x + 0$ .

$\frac{d}{d x} [x + 0]$

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 0$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [0]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [0]$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [0]$

Como $0$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $0$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Some $1$ e $0$ .

$1$

Substitua o limite inferior por $x$ em $u_{1} = x + 0$ .

$u_{lower} = - 8 + 0$

Some $- 8$ e $0$ .

$u_{lower} = - 8$

Substitua o limite superior por $x$ em $u_{1} = x + 0$ .

$u_{upper} = 8 + 0$

Some $8$ e $0$ .

$u_{upper} = 8$

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = - 8 u_{upper} = 8$

Reescreva o problema usando $u_{1}$ , $d u_{1}$ e os novos limites de integração.

$\int_{- 8}^{8} \sqrt{- {u_{1}}^{2} + 64} d u_{1}$

Deixe $u_{1} = 8 \sin (t)$ , em que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Depois, $d u_{1} = 8 \cos (t) d t$ . Como $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $8 \cos (t)$ é positivo.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{- {(8 \sin (t))}^{2} + 64} (8 \cos (t)) d t$

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Simplifique $\sqrt{- {(8 \sin (t))}^{2} + 64}$ .

Toque para ver mais passagens...

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Aplique a regra do produto a $8 \sin (t)$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{- (8^{2} \sin^{2} (t)) + 64} (8 \cos (t)) d t$

Eleve $8$ à potência de $2$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{- (64 \sin^{2} (t)) + 64} (8 \cos (t)) d t$

Multiplique $64$ por $- 1$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{- 64 \sin^{2} (t) + 64} (8 \cos (t)) d t$

Reordene $- 64 \sin^{2} (t)$ e $64$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{64 - 64 \sin^{2} (t)} (8 \cos (t)) d t$

Fatore $64$ de $64$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{64 (1) - 64 \sin^{2} (t)} (8 \cos (t)) d t$

Fatore $64$ de $- 64 \sin^{2} (t)$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{64 (1) + 64 (- \sin^{2} (t))} (8 \cos (t)) d t$

Fatore $64$ de $64 (1) + 64 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{64 (1 - \sin^{2} (t))} (8 \cos (t)) d t$

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{64 \cos^{2} (t)} (8 \cos (t)) d t$

Reescreva $64 \cos^{2} (t)$ como ${(8 \cos (t))}^{2}$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{{(8 \cos (t))}^{2}} (8 \cos (t)) d t$

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 8 \cos (t) (8 \cos (t)) d t$

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Multiplique $8$ por $8$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 64 \cos (t) \cos (t) d t$

Eleve $\cos (t)$ à potência de $1$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 64 (\cos^{1} (t) \cos (t)) d t$

Eleve $\cos (t)$ à potência de $1$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 64 (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) d t$

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 64 {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

Some $1$ e $1$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 64 \cos^{2} (t) d t$

Como $64$ é constante com relação a $t$ , mova $64$ para fora da integral.

$64 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (t) d t$

Use a fórmula do arco metade para reescrever $\cos^{2} (t)$ como $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$64 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $t$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$64 (\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t)$

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Combine $\frac{1}{2}$ e $64$ .

$\frac{64}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Cancele o fator comum de $64$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Fatore $2$ de $64$ .

$\frac{2 \cdot 32}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 \cdot 32}{2 (1)} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot 32}{2 \cdot 1} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Reescreva a expressão.

$\frac{32}{1} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Divida $32$ por $1$ .

$32 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Divida a integral única em várias integrais.

$32 (\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} d t + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (2 t) d t)$

Aplique a regra da constante.

$32 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (2 t) d t)$

Deixe $u_{2} = 2 t$ . Depois, $d u_{2} = 2 d t$ , então, $\frac{1}{2} d u_{2} = d t$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Deixe $u_{2} = 2 t$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

Toque para ver mais passagens...

Diferencie $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Como $2$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $2 t$ em relação a $t$ é $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Substitua o limite inferior por $t$ em $u_{2} = 2 t$ .

$u_{lower} = 2 (- \frac{π}{2})$

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{π}{2}$ para o numerador.

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{2}$

Cancele o fator comum.

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{2}$

Reescreva a expressão.

$u_{lower} = - π$

Substitua o limite superior por $t$ em $u_{2} = 2 t$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Cancele o fator comum.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Reescreva a expressão.

$u_{upper} = π$

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = - π u_{upper} = π$

Reescreva o problema usando $u_{2}$ , $d u_{2}$ e os novos limites de integração.

$32 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- π}^{π} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

Combine $\cos (u_{2})$ e $\frac{1}{2}$ .

$32 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- π}^{π} \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$32 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \int_{- π}^{π} \cos (u_{2}) d u_{2})$

A integral de $\cos (u_{2})$ com relação a $u_{2}$ é $\sin (u_{2})$ .

$32 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{- π}^{π})$

Combine $\frac{1}{2}$ e $\sin (u_{2})]_{- π}^{π}$ .

$32 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{\sin (u_{2})]_{- π}^{π}}{2})$

Substitua e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Avalie $t$ em $\frac{π}{2}$ e em $- \frac{π}{2}$ .

$32 ((\frac{π}{2}) + \frac{π}{2} + \frac{\sin (u_{2})]_{- π}^{π}}{2})$

Avalie $\sin (u_{2})$ em $π$ e em $- π$ .

$32 ((\frac{π}{2}) + \frac{π}{2} + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$32 (\frac{π + π}{2} + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

Some $π$ e $π$ .

$32 (\frac{2 π}{2} + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Cancele o fator comum.

$32 (\frac{2 π}{2} + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

Divida $π$ por $1$ .

$32 (π + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

$32 (π + \frac{\sin (π) - \sin (- π)}{2})$

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$32 (π + \frac{\sin (0) - \sin (- π)}{2})$

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$32 (π + \frac{0 - \sin (- π)}{2})$

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$32 (π + \frac{0 - \sin (0)}{2})$

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$32 (π + \frac{0 - 0}{2})$

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$32 (π + \frac{0 + 0}{2})$

Some $0$ e $0$ .

$32 (π + \frac{0}{2})$

Divida $0$ por $2$ .

$32 (π + 0)$

Some $π$ e $0$ .

$32 π$

Step 5