Cálculo Exemplos

$x^{2} - 2 x - 3$

Step 1

Escreva $x^{2} - 2 x - 3$ como uma função.

$f (x) = x^{2} - 2 x - 3$

Step 2

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 2 x - 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$2 x - 2 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 x - 2 + 0$

Some $2 x - 2$ e $0$ .

$2 x - 2$

Step 3

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 2)$

Multiplique $2$ por $1$ .

$f'' (x) = 2 + \frac{d}{d x} (- 2)$

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 2 + 0$

Some $2$ e $0$ .

$f'' (x) = 2$

Step 4

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$2 x - 2 = 0$

Step 5

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 2 x - 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = 2 x + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 2 x - 2 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 3)$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = 2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 3)$

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$f' (x) = 2 x - 2 + \frac{d}{d x} (- 3)$

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = 2 x - 2 + 0$

Some $2 x - 2$ e $0$ .

$f' (x) = 2 x - 2$

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $2 x - 2$ .

$2 x - 2$

Step 6

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $2 x - 2 = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$2 x - 2 = 0$

Some $2$ aos dois lados da equação.

$2 x = 2$

Divida cada termo em $2 x = 2$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Divida cada termo em $2 x = 2$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{2}{2}$

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{2}{2}$

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{2}{2}$

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Divida $2$ por $2$ .

$x = 1$

Step 7

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Step 8

Pontos críticos para avaliar.

$x = 1$

Step 9

Avalie a segunda derivada em $x = 1$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$2$

Step 10

$x = 1$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 1$ é um mínimo local

Step 11

Encontre o valor y quando $x = 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f (1) = {(1)}^{2} - 2 \cdot 1 - 3$

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (1) = 1 - 2 \cdot 1 - 3$

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$f (1) = 1 - 2 - 3$

Simplifique subtraindo os números.

Toque para ver mais passagens...

Subtraia $2$ de $1$ .

$f (1) = - 1 - 3$

Subtraia $3$ de $- 1$ .

$f (1) = - 4$

A resposta final é $- 4$ .

$y = - 4$

Step 12

Esses são os extremos locais para $f (x) = x^{2} - 2 x - 3$ .

$(1, - 4)$ é um mínimo local

Step 13