Cálculo Exemplos

$f (x) = x e^{x}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = e^{x}$ .

$f' (x) = x \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x)$

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$f' (x) = x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x)$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = x e^{x} + e^{x} \cdot 1$

Multiplique $e^{x}$ por $1$ .

$f' (x) = x e^{x} + e^{x}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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De acordo com a regra da soma, a derivada de $x e^{x} + e^{x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x e^{x}) + \frac{d}{d x} (e^{x})$

Avalie $\frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

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Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = e^{x}$ .

$f'' (x) = x \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (e^{x})$

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$f'' (x) = x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (e^{x})$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = x e^{x} + e^{x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (e^{x})$

Multiplique $e^{x}$ por $1$ .

$f'' (x) = x e^{x} + e^{x} + \frac{d}{d x} (e^{x})$

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$f'' (x) = x e^{x} + e^{x} + e^{x}$

Simplifique.

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Some $e^{x}$ e $e^{x}$ .

$f'' (x) = x e^{x} + 2 e^{x}$

Reordene os termos.

$f'' (x) = e^{x} x + 2 e^{x}$

Reordene os fatores em $e^{x} x + 2 e^{x}$ .

$f'' (x) = x e^{x} + 2 e^{x}$

Etapa 3

Encontre a terceira derivada.

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De acordo com a regra da soma, a derivada de $x e^{x} + 2 e^{x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$ .

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (x e^{x}) + \frac{d}{d x} (2 e^{x})$

Avalie $\frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

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Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = e^{x}$ .

$f''' (x) = x \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (2 e^{x})$

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$f''' (x) = x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (2 e^{x})$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f''' (x) = x e^{x} + e^{x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (2 e^{x})$

Multiplique $e^{x}$ por $1$ .

$f''' (x) = x e^{x} + e^{x} + \frac{d}{d x} (2 e^{x})$

Avalie $\frac{d}{d x} [2 e^{x}]$ .

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Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 e^{x}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$f''' (x) = x e^{x} + e^{x} + 2 \frac{d}{d x} (e^{x})$

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$f''' (x) = x e^{x} + e^{x} + 2 e^{x}$

Simplifique.

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Some $e^{x}$ e $2 e^{x}$ .

$f''' (x) = x e^{x} + 3 e^{x}$

Reordene os termos.

$f''' (x) = e^{x} x + 3 e^{x}$

Reordene os fatores em $e^{x} x + 3 e^{x}$ .

$f''' (x) = x e^{x} + 3 e^{x}$

Etapa 4

A terceira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $x e^{x} + 3 e^{x}$ .

$x e^{x} + 3 e^{x}$