Cálculo Exemplos

$y = 2 x$ , $y = 2 \sqrt{x}$

Step 1

Resolva por substituição para encontrar a intersecção entre as curvas.

Toque para ver mais passagens...

Elimine os lados iguais de cada equação e combine.

$2 x = 2 \sqrt{x}$

Resolva $2 x = 2 \sqrt{x}$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Como o radical está do lado direito da equação, troque os lados para que ele fique do lado esquerdo da equação.

$2 \sqrt{x} = 2 x$

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${(2 \sqrt{x})}^{2} = {(2 x)}^{2}$

Simplifique cada lado da equação.

Toque para ver mais passagens...

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x)}^{2}$

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Simplifique ${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Aplique a regra do produto a $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x)}^{2}$

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$4 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x)}^{2}$

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x)}^{2}$

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Cancele o fator comum.

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x)}^{2}$

Reescreva a expressão.

$4 x^{1} = {(2 x)}^{2}$

Simplifique.

$4 x = {(2 x)}^{2}$

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Simplifique ${(2 x)}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Aplique a regra do produto a $2 x$ .

$4 x = 2^{2} x^{2}$

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$4 x = 4 x^{2}$

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Subtraia $4 x^{2}$ dos dois lados da equação.

$4 x - 4 x^{2} = 0$

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Deixe $u = x$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x$ .

$4 u - 4 u^{2} = 0$

Fatore $4 u$ de $4 u - 4 u^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Fatore $4 u$ de $4 u$ .

$4 u (1) - 4 u^{2} = 0$

Fatore $4 u$ de $- 4 u^{2}$ .

$4 u (1) + 4 u (- u) = 0$

Fatore $4 u$ de $4 u (1) + 4 u (- u)$ .

$4 u (1 - u) = 0$

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x$ .

$4 x (1 - x) = 0$

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$1 - x = 0 + y = 2 \sqrt{x}$

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Defina $1 - x$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Defina $1 - x$ como igual a $0$ .

$1 - x = 0$

Resolva $1 - x = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- x = - 1$

Divida cada termo em $- x = - 1$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Divida cada termo em $- x = - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Divida $- 1$ por $- 1$ .

$x = 1$

A solução final são todos os valores que tornam $4 x (1 - x) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, 1$

Avalie $y$ quando $x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Substitua $0$ por $x$ .

$y = 2 \sqrt{0}$

Simplifique $2 \sqrt{0}$ .

Toque para ver mais passagens...

Remova os parênteses.

$y = 2 \sqrt{0}$

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$y = 2 \sqrt{0^{2}}$

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$y = 2 \cdot 0$

Multiplique $2$ por $0$ .

$y = 0$

Avalie $y$ quando $x = 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Substitua $1$ por $x$ .

$y = 2 \sqrt{1}$

Simplifique $2 \sqrt{1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Remova os parênteses.

$y = 2 \sqrt{1}$

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$y = 2 \cdot 1$

Multiplique $2$ por $1$ .

$y = 2$

A solução para o sistema é o conjunto completo de pares ordenados que são soluções válidas.

$(0, 0)$

$(1, 2)$

$(0, 0)$

$(1, 2)$

Step 2

A área da região entre as curvas é definida como a integral da curva superior menos a integral da curva inferior sobre cada região. As regiões são determinadas pelos pontos de intersecção das curvas. É possível fazer isso de forma algébrica ou gráfica.

$A r e a = \int_{0}^{1} 2 \sqrt{x} d x - \int_{0}^{1} 2 x d x$

Step 3

Integre para encontrar a área entre $0$ e $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Combine as integrais em uma única integral.

$\int_{0}^{1} 2 \sqrt{x} - (2 x) d x$

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\int_{0}^{1} 2 \sqrt{x} - 2 x d x$

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{0}^{1} 2 \sqrt{x} d x + \int_{0}^{1} - 2 x d x$

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$2 \int_{0}^{1} \sqrt{x} d x + \int_{0}^{1} - 2 x d x$

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 \int_{0}^{1} x^{\frac{1}{2}} d x + \int_{0}^{1} - 2 x d x$

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{\frac{1}{2}}$ com relação a $x$ é $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$2 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} - 2 x d x$

Combine $\frac{2}{3}$ e $x^{\frac{3}{2}}$ .

$2 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} - 2 x d x$

Como $- 2$ é constante com relação a $x$ , mova $- 2$ para fora da integral.

$2 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{1}) - 2 \int_{0}^{1} x d x$

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{1}) - 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1})$

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$2 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{1}) - 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1})$

Substitua e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Avalie $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ em $1$ e em $0$ .

$2 ((\frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3}) - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1})$

Avalie $\frac{x^{2}}{2}$ em $1$ e em $0$ .

$2 (\frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Um elevado a qualquer potência é um.

$2 (\frac{2 \cdot 1}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 (\frac{2}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$2 (\frac{2}{3} - \frac{2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (\frac{2}{3} - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Cancele o fator comum.

$2 (\frac{2}{3} - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Reescreva a expressão.

$2 (\frac{2}{3} - \frac{2 \cdot 0^{3}}{3}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$2 (\frac{2}{3} - \frac{2 \cdot 0}{3}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Multiplique $2$ por $0$ .

$2 (\frac{2}{3} - \frac{0}{3}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Cancele o fator comum de $0$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Fatore $3$ de $0$ .

$2 (\frac{2}{3} - \frac{3 (0)}{3}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Fatore $3$ de $3$ .

$2 (\frac{2}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Cancele o fator comum.

$2 (\frac{2}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Reescreva a expressão.

$2 (\frac{2}{3} - \frac{0}{1}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Divida $0$ por $1$ .

$2 (\frac{2}{3} - 0) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$2 (\frac{2}{3} + 0) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Some $\frac{2}{3}$ e $0$ .

$2 (\frac{2}{3}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Combine $2$ e $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{3} - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{4}{3} - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{4}{3} - 2 (\frac{1}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{4}{3} - 2 (\frac{1}{2} - \frac{0}{2})$

Cancele o fator comum de $0$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Fatore $2$ de $0$ .

$\frac{4}{3} - 2 (\frac{1}{2} - \frac{2 (0)}{2})$

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{4}{3} - 2 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Cancele o fator comum.

$\frac{4}{3} - 2 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Reescreva a expressão.

$\frac{4}{3} - 2 (\frac{1}{2} - \frac{0}{1})$

Divida $0$ por $1$ .

$\frac{4}{3} - 2 (\frac{1}{2} - 0)$

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$\frac{4}{3} - 2 (\frac{1}{2} + 0)$

Some $\frac{1}{2}$ e $0$ .

$\frac{4}{3} - 2 (\frac{1}{2})$

Combine $- 2$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{4}{3} + \frac{- 2}{2}$

Cancele o fator comum de $- 2$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Fatore $2$ de $- 2$ .

$\frac{4}{3} + \frac{2 \cdot - 1}{2}$

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{4}{3} + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}$

Cancele o fator comum.

$\frac{4}{3} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

Reescreva a expressão.

$\frac{4}{3} + \frac{- 1}{1}$

Divida $- 1$ por $1$ .

$\frac{4}{3} - 1$

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}$

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}$

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{4 - 1 \cdot 3}{3}$

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{4 - 3}{3}$

Subtraia $3$ de $4$ .

$\frac{1}{3}$

Step 4