Cálculo Exemplos

$4 x^{3} - 4 x$

Step 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x^{3} - 4 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{3}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Multiplique $3$ por $4$ .

$f' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Avalie $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 x$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} x$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - 4 \cdot 1$

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - 4$

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $12 x^{2} - 4$ .

$12 x^{2} - 4$

Step 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $12 x^{2} - 4 = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$12 x^{2} - 4 = 0$

Some $4$ aos dois lados da equação.

$12 x^{2} = 4$

Divida cada termo em $12 x^{2} = 4$ por $12$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Divida cada termo em $12 x^{2} = 4$ por $12$ .

$\frac{12 x^{2}}{12} = \frac{4}{12}$

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Cancele o fator comum de $12$ .

Toque para ver mais passagens...

Cancele o fator comum.

$\frac{12 x^{2}}{12} = \frac{4}{12}$

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{4}{12}$

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Cancele o fator comum de $4$ e $12$ .

Toque para ver mais passagens...

Fatore $4$ de $4$ .

$x^{2} = \frac{4 (1)}{12}$

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Fatore $4$ de $12$ .

$x^{2} = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}$

Cancele o fator comum.

$x^{2} = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}$

Reescreva a expressão.

$x^{2} = \frac{1}{3}$

Calcule a raiz quadrada dos dois lados da equação para eliminar o expoente do lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{3}}$

Simplifique $\pm \sqrt{\frac{1}{3}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Reescreva $\sqrt{\frac{1}{3}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Some $1$ e $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Cancele o fator comum.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Reescreva a expressão.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

Avalie o expoente.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Step 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Step 4

Avalie $4 x^{3} - 4 x$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Avalie em $x = \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Substitua $\frac{\sqrt{3}}{3}$ por $x$ .

$4 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{3} - 4 \frac{\sqrt{3}}{3}$

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$4 \frac{{\sqrt{3}}^{3}}{3^{3}} - 4 \frac{\sqrt{3}}{3}$

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Reescreva ${\sqrt{3}}^{3}$ como ${(3^{3})}^{\frac{1}{2}}$ .

$4 \frac{\sqrt{3^{3}}}{3^{3}} - 4 \frac{\sqrt{3}}{3}$

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$4 \frac{\sqrt{27}}{3^{3}} - 4 \frac{\sqrt{3}}{3}$

Reescreva $27$ como $3^{2} \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Fatore $9$ de $27$ .

$4 \frac{\sqrt{9 (3)}}{3^{3}} - 4 \frac{\sqrt{3}}{3}$

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$4 \frac{\sqrt{3^{2} \cdot 3}}{3^{3}} - 4 \frac{\sqrt{3}}{3}$

Elimine os termos abaixo do radical.

$4 \frac{3 \sqrt{3}}{3^{3}} - 4 \frac{\sqrt{3}}{3}$

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$4 \frac{3 \sqrt{3}}{27} - 4 \frac{\sqrt{3}}{3}$

Cancele o fator comum de $3$ e $27$ .

Toque para ver mais passagens...

Fatore $3$ de $3 \sqrt{3}$ .

$4 \frac{3 (\sqrt{3})}{27} - 4 \frac{\sqrt{3}}{3}$

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Fatore $3$ de $27$ .

$4 \frac{3 \sqrt{3}}{3 \cdot 9} - 4 \frac{\sqrt{3}}{3}$

Cancele o fator comum.

$4 \frac{3 \sqrt{3}}{3 \cdot 9} - 4 \frac{\sqrt{3}}{3}$

Reescreva a expressão.

$4 \frac{\sqrt{3}}{9} - 4 \frac{\sqrt{3}}{3}$

Combine $4$ e $\frac{\sqrt{3}}{9}$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{9} - 4 \frac{\sqrt{3}}{3}$

Combine $- 4$ e $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{9} + \frac{- 4 \sqrt{3}}{3}$

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{4 \sqrt{3}}{9} - \frac{4 \sqrt{3}}{3}$

Para escrever $- \frac{4 \sqrt{3}}{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{9} - \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{3}$

Escreva cada expressão com um denominador comum de $9$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Multiplique $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{9} - \frac{4 \sqrt{3} \cdot 3}{3 \cdot 3}$

Multiplique $3$ por $3$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{9} - \frac{4 \sqrt{3} \cdot 3}{9}$

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{4 \sqrt{3} - 4 \sqrt{3} \cdot 3}{9}$

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Multiplique $3$ por $- 4$ .

$\frac{4 \sqrt{3} - 12 \sqrt{3}}{9}$

Subtraia $12 \sqrt{3}$ de $4 \sqrt{3}$ .

$\frac{- 8 \sqrt{3}}{9}$

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{8 \sqrt{3}}{9}$

Avalie em $x = - \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Substitua $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ por $x$ .

$4 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{3} - 4 (- \frac{\sqrt{3}}{3})$

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Aplique a regra do produto a $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$4 ({(- 1)}^{3} {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{3}) - 4 (- \frac{\sqrt{3}}{3})$

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$4 ({(- 1)}^{3} \frac{{\sqrt{3}}^{3}}{3^{3}}) - 4 (- \frac{\sqrt{3}}{3})$

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$4 (- \frac{{\sqrt{3}}^{3}}{3^{3}}) - 4 (- \frac{\sqrt{3}}{3})$

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Reescreva ${\sqrt{3}}^{3}$ como ${(3^{3})}^{\frac{1}{2}}$ .

$4 (- \frac{\sqrt{3^{3}}}{3^{3}}) - 4 (- \frac{\sqrt{3}}{3})$

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$4 (- \frac{\sqrt{27}}{3^{3}}) - 4 (- \frac{\sqrt{3}}{3})$

Reescreva $27$ como $3^{2} \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Fatore $9$ de $27$ .

$4 (- \frac{\sqrt{9 (3)}}{3^{3}}) - 4 (- \frac{\sqrt{3}}{3})$

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$4 (- \frac{\sqrt{3^{2} \cdot 3}}{3^{3}}) - 4 (- \frac{\sqrt{3}}{3})$

Elimine os termos abaixo do radical.

$4 (- \frac{3 \sqrt{3}}{3^{3}}) - 4 (- \frac{\sqrt{3}}{3})$

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$4 (- \frac{3 \sqrt{3}}{27}) - 4 (- \frac{\sqrt{3}}{3})$

Cancele o fator comum de $3$ e $27$ .

Toque para ver mais passagens...

Fatore $3$ de $3 \sqrt{3}$ .

$4 (- \frac{3 (\sqrt{3})}{27}) - 4 (- \frac{\sqrt{3}}{3})$

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Fatore $3$ de $27$ .

$4 (- \frac{3 \sqrt{3}}{3 \cdot 9}) - 4 (- \frac{\sqrt{3}}{3})$

Cancele o fator comum.

$4 (- \frac{3 \sqrt{3}}{3 \cdot 9}) - 4 (- \frac{\sqrt{3}}{3})$

Reescreva a expressão.

$4 (- \frac{\sqrt{3}}{9}) - 4 (- \frac{\sqrt{3}}{3})$

Multiplique $4 (- \frac{\sqrt{3}}{9})$ .

Toque para ver mais passagens...

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$- 4 \frac{\sqrt{3}}{9} - 4 (- \frac{\sqrt{3}}{3})$

Combine $- 4$ e $\frac{\sqrt{3}}{9}$ .

$\frac{- 4 \sqrt{3}}{9} - 4 (- \frac{\sqrt{3}}{3})$

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{(4) \sqrt{3}}{9} - 4 (- \frac{\sqrt{3}}{3})$

Multiplique $- 4 (- \frac{\sqrt{3}}{3})$ .

Toque para ver mais passagens...

Multiplique $- 1$ por $- 4$ .

$- \frac{4 \sqrt{3}}{9} + 4 \frac{\sqrt{3}}{3}$

Combine $4$ e $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$- \frac{4 \sqrt{3}}{9} + \frac{4 \sqrt{3}}{3}$

Para escrever $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{4 \sqrt{3}}{9} + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{3}$

Escreva cada expressão com um denominador comum de $9$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Multiplique $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{4 \sqrt{3}}{9} + \frac{4 \sqrt{3} \cdot 3}{3 \cdot 3}$

Multiplique $3$ por $3$ .

$- \frac{4 \sqrt{3}}{9} + \frac{4 \sqrt{3} \cdot 3}{9}$

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 4 \sqrt{3} + 4 \sqrt{3} \cdot 3}{9}$

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Multiplique $3$ por $4$ .

$\frac{- 4 \sqrt{3} + 12 \sqrt{3}}{9}$

Some $- 4 \sqrt{3}$ e $12 \sqrt{3}$ .

$\frac{8 \sqrt{3}}{9}$

Liste todos os pontos.

$(\frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{8 \sqrt{3}}{9}), (- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{8 \sqrt{3}}{9})$

Step 5