Cálculo Exemplos

$x = 4 \sqrt{3 y}$ , $x = 0$ , $y = 3$

Step 1

Para encontrar o volume do sólido, primeiro defina a área de cada parte e, depois, integre em todo o intervalo. A área de cada parte é a área de um círculo com o raio $f (x)$ e $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{0}^{12} {(f (x))}^{2} - {(g (x))}^{2} d x$ em que $f (x) = 3$ e $g (x) = \frac{x^{2}}{48}$

Step 2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$V = 9 - {(\frac{x^{2}}{48})}^{2}$

Aplique a regra do produto a $\frac{x^{2}}{48}$ .

$V = 9 - \frac{{(x^{2})}^{2}}{48^{2}}$

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = 9 - \frac{x^{2 \cdot 2}}{48^{2}}$

Multiplique $2$ por $2$ .

$V = 9 - \frac{x^{4}}{48^{2}}$

Eleve $48$ à potência de $2$ .

$V = 9 - \frac{x^{4}}{2304}$

Step 3

Divida a integral única em várias integrais.

$V = π (\int_{0}^{12} 9 d x + \int_{0}^{12} - \frac{x^{4}}{2304} d x)$

Step 4

Aplique a regra da constante.

$V = π (9 x]_{0}^{12} + \int_{0}^{12} - \frac{x^{4}}{2304} d x)$

Step 5

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$V = π (9 x]_{0}^{12} - \int_{0}^{12} \frac{x^{4}}{2304} d x)$

Step 6

Como $\frac{1}{2304}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{2304}$ para fora da integral.

$V = π (9 x]_{0}^{12} - (\frac{1}{2304} \cdot \int_{0}^{12} x^{4} d x))$

Step 7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{4}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$V = π (9 x]_{0}^{12} - \frac{1}{2304} \cdot \frac{1}{5} x^{5}]_{0}^{12})$

Step 8

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Combine $\frac{1}{5}$ e $x^{5}$ .

$V = π (9 x]_{0}^{12} - \frac{1}{2304} \cdot \frac{x^{5}}{5}]_{0}^{12})$

Combine $\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{12}$ e $\frac{1}{2304}$ .

$V = π (9 x]_{0}^{12} - \frac{\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{12}}{2304})$

Substitua e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Avalie $9 x$ em $12$ e em $0$ .

$V = π ((9 \cdot 12) - 9 \cdot 0 - \frac{\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{12}}{2304})$

Avalie $\frac{x^{5}}{5}$ em $12$ e em $0$ .

$V = π ((9 \cdot 12) - 9 \cdot 0 - \frac{(\frac{12^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{2304})$

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Multiplique $9$ por $12$ .

$V = π (108 - 9 \cdot 0 - \frac{(\frac{12^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{2304})$

Multiplique $- 9$ por $0$ .

$V = π (108 + 0 - \frac{(\frac{12^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{2304})$

Some $108$ e $0$ .

$V = π (108 - \frac{(\frac{12^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{2304})$

Eleve $12$ à potência de $5$ .

$V = π (108 - \frac{\frac{248832}{5} - \frac{0^{5}}{5}}{2304})$

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$V = π (108 - \frac{\frac{248832}{5} - \frac{0}{5}}{2304})$

Cancele o fator comum de $0$ e $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Fatore $5$ de $0$ .

$V = π (108 - \frac{\frac{248832}{5} - \frac{5 (0)}{5}}{2304})$

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Fatore $5$ de $5$ .

$V = π (108 - \frac{\frac{248832}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1}}{2304})$

Cancele o fator comum.

$V = π (108 - \frac{\frac{248832}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1}}{2304})$

Reescreva a expressão.

$V = π (108 - \frac{\frac{248832}{5} - \frac{0}{1}}{2304})$

Divida $0$ por $1$ .

$V = π (108 - \frac{\frac{248832}{5} - 0}{2304})$

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$V = π (108 - \frac{\frac{248832}{5} + 0}{2304})$

Some $\frac{248832}{5}$ e $0$ .

$V = π (108 - \frac{\frac{248832}{5}}{2304})$

Reescreva $\frac{\frac{248832}{5}}{2304}$ como um produto.

$V = π (108 - (\frac{248832}{5} \cdot \frac{1}{2304}))$

Multiplique $\frac{248832}{5}$ por $\frac{1}{2304}$ .

$V = π (108 - \frac{248832}{5 \cdot 2304})$

Multiplique $5$ por $2304$ .

$V = π (108 - \frac{248832}{11520})$

Cancele o fator comum de $248832$ e $11520$ .

Toque para ver mais passagens...

Fatore $2304$ de $248832$ .

$V = π (108 - \frac{2304 (108)}{11520})$

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Fatore $2304$ de $11520$ .

$V = π (108 - \frac{2304 \cdot 108}{2304 \cdot 5})$

Cancele o fator comum.

$V = π (108 - \frac{2304 \cdot 108}{2304 \cdot 5})$

Reescreva a expressão.

$V = π (108 - \frac{108}{5})$

Para escrever $108$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$V = π (108 \cdot \frac{5}{5} - \frac{108}{5})$

Combine $108$ e $\frac{5}{5}$ .

$V = π (\frac{108 \cdot 5}{5} - \frac{108}{5})$

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$V = π (\frac{108 \cdot 5 - 108}{5})$

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Multiplique $108$ por $5$ .

$V = π (\frac{540 - 108}{5})$

Subtraia $108$ de $540$ .

$V = π (\frac{432}{5})$

Combine $π$ e $\frac{432}{5}$ .

$V = \frac{π \cdot 432}{5}$

Mova $432$ para a esquerda de $π$ .

$V = \frac{432 π}{5}$

Step 9

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$V = \frac{432 π}{5}$

Forma decimal:

$V = 271.43360527 \dots$

Step 10