Cálculo Exemplos

$\frac{2 x}{x^{2} - 4}$

Step 1

Escreva $\frac{2 x}{x^{2} - 4}$ como uma função.

$f (x) = \frac{2 x}{x^{2} - 4}$

Step 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{2 x}{x^{2} - 4}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} - 4}]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{x}{x^{2} - 4})$

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = x^{2} - 4$ .

$f' (x) = 2 (\frac{(x^{2} - 4) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}})$

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{(x^{2} - 4) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}})$

Multiplique $x^{2} - 4$ por $1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 4 - x \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}})$

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 4 - x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4))}{{(x^{2} - 4)}^{2}})$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 4 - x (2 x + \frac{d}{d x} (- 4))}{{(x^{2} - 4)}^{2}})$

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 4 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} - 4)}^{2}})$

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Some $2 x$ e $0$ .

$f' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 4 - x (2 x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}})$

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 4 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} - 4)}^{2}})$

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 4 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}})$

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 4 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}})$

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 4 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} - 4)}^{2}})$

Some $1$ e $1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 4 - 2 x^{2}}{{(x^{2} - 4)}^{2}})$

Subtraia $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$f' (x) = 2 (\frac{- x^{2} - 4}{{(x^{2} - 4)}^{2}})$

Combine $2$ e $\frac{- x^{2} - 4}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{2 (- x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = \frac{2 (- x^{2}) + 2 \cdot - 4}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 2 \cdot - 4}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Multiplique $2$ por $- 4$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2} - 8}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} - 8) - (- 2 x^{2} - 8) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{2}}{{({(x^{2} - 4)}^{2})}^{2}}$

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Multiplique os expoentes em ${({(x^{2} - 4)}^{2})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} - 8) - (- 2 x^{2} - 8) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{2}}{{(x^{2} - 4)}^{2 \cdot 2}}$

Multiplique $2$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} - 8) - (- 2 x^{2} - 8) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{2}}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 2 x^{2} - 8$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (\frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 8)) - (- 2 x^{2} - 8) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{2}}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (- 2 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 8)) - (- 2 x^{2} - 8) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{2}}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (- 2 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 8)) - (- 2 x^{2} - 8) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{2}}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (- 4 x + \frac{d}{d x} (- 8)) - (- 2 x^{2} - 8) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{2}}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Como $- 8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 8$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (- 4 x + 0) - (- 2 x^{2} - 8) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{2}}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Some $- 4 x$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (- 4 x) - (- 2 x^{2} - 8) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{2}}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{2} - 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} - 4$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (- 4 x) - (- 2 x^{2} - 8) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (- 4 x) - (- 2 x^{2} - 8) (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} - 4$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (- 4 x) - (- 2 x^{2} - 8) (2 (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (- 4 x) - 2 (- 2 x^{2} - 8) ((x^{2} - 4) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (- 4 x) - 2 (- 2 x^{2} - 8) ((x^{2} - 4) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4)))}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (- 4 x) - 2 (- 2 x^{2} - 8) ((x^{2} - 4) (2 x + \frac{d}{d x} (- 4)))}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (- 4 x) - 2 (- 2 x^{2} - 8) ((x^{2} - 4) (2 x + 0))}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Some $2 x$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (- 4 x) - 2 (- 2 x^{2} - 8) ((x^{2} - 4) (2 x))}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Mova $2$ para a esquerda de $x^{2} - 4$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (- 4 x) - 2 (- 2 x^{2} - 8) (2 \cdot ((x^{2} - 4) x))}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (- 4 x) - 4 (- 2 x^{2} - 8) ((x^{2} - 4) x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (- 4 x) + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 8) ((x^{2} - 4) x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (- 4 x) + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 8) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Simplifique o numerador.

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Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f'' (x) = \frac{- 4 {(x^{2} - 4)}^{2} x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 8) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Reescreva ${(x^{2} - 4)}^{2}$ como $(x^{2} - 4) (x^{2} - 4)$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 ((x^{2} - 4) (x^{2} - 4)) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 8) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Expanda $(x^{2} - 4) (x^{2} - 4)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 4 (x^{2} (x^{2} - 4) - 4 (x^{2} - 4)) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 8) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 4 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 4 - 4 (x^{2} - 4)) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 8) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 4 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 4 - 4 x^{2} - 4 \cdot - 4) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 8) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Multiplique $x^{2}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{- 4 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot - 4 - 4 x^{2} - 4 \cdot - 4) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 8) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Some $2$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 (x^{4} + x^{2} \cdot - 4 - 4 x^{2} - 4 \cdot - 4) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 8) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Mova $- 4$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 (x^{4} - 4 \cdot x^{2} - 4 x^{2} - 4 \cdot - 4) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 8) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Multiplique $- 4$ por $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 (x^{4} - 4 x^{2} - 4 x^{2} + 16) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 8) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Subtraia $4 x^{2}$ de $- 4 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 (x^{4} - 8 x^{2} + 16) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 8) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{(- 4 x^{4} - 4 (- 8 x^{2}) - 4 \cdot 16) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 8) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Multiplique $- 8$ por $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{(- 4 x^{4} + 32 x^{2} - 4 \cdot 16) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 8) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Multiplique $- 4$ por $16$ .

$f'' (x) = \frac{(- 4 x^{4} + 32 x^{2} - 64) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 8) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{4} x + 32 x^{2} x - 64 x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 8) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Multiplique $x^{4}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Mova $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 (x \cdot x^{4}) + 32 x^{2} x - 64 x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 8) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Multiplique $x$ por $x^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 (x \cdot x^{4}) + 32 x^{2} x - 64 x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 8) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{1 + 4} + 32 x^{2} x - 64 x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 8) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Some $1$ e $4$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 x^{2} x - 64 x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 8) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Mova $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 (x \cdot x^{2}) - 64 x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 8) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 (x \cdot x^{2}) - 64 x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 8) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 x^{1 + 2} - 64 x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 8) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Some $1$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 x^{3} - 64 x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 8) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Multiplique $- 2$ por $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 x^{3} - 64 x + (8 x^{2} - 4 \cdot - 8) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Multiplique $- 4$ por $- 8$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 x^{3} - 64 x + (8 x^{2} + 32) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 x^{3} - 64 x + (8 x^{2} + 32) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 x^{3} - 64 x + (8 x^{2} + 32) (x^{2 + 1} - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Some $2$ e $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 x^{3} - 64 x + (8 x^{2} + 32) (x^{3} - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Expanda $(8 x^{2} + 32) (x^{3} - 4 x)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 x^{3} - 64 x + 8 x^{2} (x^{3} - 4 x) + 32 (x^{3} - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 x^{3} - 64 x + 8 x^{2} x^{3} + 8 x^{2} (- 4 x) + 32 (x^{3} - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 x^{3} - 64 x + 8 x^{2} x^{3} + 8 x^{2} (- 4 x) + 32 x^{3} + 32 (- 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Multiplique $x^{2}$ por $x^{3}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Mova $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 x^{3} - 64 x + 8 (x^{3} x^{2}) + 8 x^{2} (- 4 x) + 32 x^{3} + 32 (- 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 x^{3} - 64 x + 8 x^{3 + 2} + 8 x^{2} (- 4 x) + 32 x^{3} + 32 (- 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Some $3$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 x^{3} - 64 x + 8 x^{5} + 8 x^{2} (- 4 x) + 32 x^{3} + 32 (- 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 x^{3} - 64 x + 8 x^{5} + 8 \cdot (- 4 x^{2} x) + 32 x^{3} + 32 (- 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Mova $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 x^{3} - 64 x + 8 x^{5} + 8 \cdot (- 4 (x \cdot x^{2})) + 32 x^{3} + 32 (- 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 x^{3} - 64 x + 8 x^{5} + 8 \cdot (- 4 (x \cdot x^{2})) + 32 x^{3} + 32 (- 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 x^{3} - 64 x + 8 x^{5} + 8 \cdot (- 4 x^{1 + 2}) + 32 x^{3} + 32 (- 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Some $1$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 x^{3} - 64 x + 8 x^{5} + 8 \cdot (- 4 x^{3}) + 32 x^{3} + 32 (- 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Multiplique $8$ por $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 x^{3} - 64 x + 8 x^{5} - 32 x^{3} + 32 x^{3} + 32 (- 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Multiplique $- 4$ por $32$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 x^{3} - 64 x + 8 x^{5} - 32 x^{3} + 32 x^{3} - 128 x}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Some $- 32 x^{3}$ e $32 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 x^{3} - 64 x + 8 x^{5} + 0 - 128 x}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Some $8 x^{5}$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 x^{3} - 64 x + 8 x^{5} - 128 x}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Some $- 4 x^{5}$ e $8 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 32 x^{3} - 64 x - 128 x}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Subtraia $128 x$ de $- 64 x$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 32 x^{3} - 192 x}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Fatore $4 x$ de $4 x^{5} + 32 x^{3} - 192 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Fatore $4 x$ de $4 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x (x^{4}) + 32 x^{3} - 192 x}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Fatore $4 x$ de $32 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x (x^{4}) + 4 x (8 x^{2}) - 192 x}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Fatore $4 x$ de $- 192 x$ .

$f'' (x) = \frac{4 x (x^{4}) + 4 x (8 x^{2}) + 4 x (- 48)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Fatore $4 x$ de $4 x (x^{4}) + 4 x (8 x^{2})$ .

$f'' (x) = \frac{4 x (x^{4} + 8 x^{2}) + 4 x (- 48)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Fatore $4 x$ de $4 x (x^{4} + 8 x^{2}) + 4 x (- 48)$ .

$f'' (x) = \frac{4 x (x^{4} + 8 x^{2} - 48)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x ({(x^{2})}^{2} + 8 x^{2} - 48)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Deixe $u = x^{2}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x (u^{2} + 8 u - 48)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Fatore $u^{2} + 8 u - 48$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 48$ e cuja soma é $8$ .

$- 4, 12$

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$f'' (x) = \frac{4 x ((u - 4) (u + 12))}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x ((x^{2} - 4) (x^{2} + 12))}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x ((x^{2} - 2^{2}) (x^{2} + 12))}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 2$ .

$f'' (x) = \frac{4 x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 12)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 12)}{{(x^{2} - 2^{2})}^{4}}$

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 2$ .

$f'' (x) = \frac{4 x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 12)}{{((x + 2) (x - 2))}^{4}}$

Aplique a regra do produto a $(x + 2) (x - 2)$ .

$f'' (x) = \frac{4 x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 12)}{{(x + 2)}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

Cancele o fator comum de $x + 2$ e ${(x + 2)}^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Fatore $x + 2$ de $4 x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 12)$ .

$f'' (x) = \frac{(x + 2) ((4 x (x - 2)) (x^{2} + 12))}{{(x + 2)}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Fatore $x + 2$ de ${(x + 2)}^{4} {(x - 2)}^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{(x + 2) ((4 x (x - 2)) (x^{2} + 12))}{(x + 2) ({(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{4})}$

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = \frac{(x + 2) ((4 x (x - 2)) (x^{2} + 12))}{(x + 2) ({(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{4})}$

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = \frac{(4 x (x - 2)) (x^{2} + 12)}{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{4}}$

Cancele o fator comum de $x - 2$ e ${(x - 2)}^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Fatore $x - 2$ de $(4 x (x - 2)) (x^{2} + 12)$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 2) ((4 x) (x^{2} + 12))}{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{4}}$

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Fatore $x - 2$ de ${(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 2) ((4 x) (x^{2} + 12))}{(x - 2) ({(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3})}$

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = \frac{(x - 2) ((4 x) (x^{2} + 12))}{(x - 2) ({(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3})}$

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = \frac{(4 x) (x^{2} + 12)}{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

$f'' (x) = \frac{4 x (x^{2} + 12)}{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{4 x (x^{2} + 12)}{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$ .

$\frac{4 x (x^{2} + 12)}{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{4 x (x^{2} + 12)}{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$\frac{4 x (x^{2} + 12)}{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}} = 0$

Defina o numerador como igual a zero.

$4 x (x^{2} + 12) = 0$

Resolva a equação para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$x^{2} + 12 = 0$

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Defina $x^{2} + 12$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Defina $x^{2} + 12$ como igual a $0$ .

$x^{2} + 12 = 0$

Resolva $x^{2} + 12 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Subtraia $12$ dos dois lados da equação.

$x^{2} = - 12$

Calcule a raiz quadrada dos dois lados da equação para eliminar o expoente do lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{- 12}$

Simplifique $\pm \sqrt{- 12}$ .

Toque para ver mais passagens...

Reescreva $- 12$ como $- 1 (12)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (12)}$

Reescreva $\sqrt{- 1 (12)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{12}$

Reescreva $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Fatore $4$ de $12$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}$

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}$

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \pm i \cdot (2 \sqrt{3})$

Mova $2$ para a esquerda de $i$ .

$x = \pm 2 i \sqrt{3}$

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 2 i \sqrt{3}$

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 2 i \sqrt{3}$

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 2 i \sqrt{3}, - 2 i \sqrt{3}$

A solução final são todos os valores que tornam $4 x (x^{2} + 12) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, 2 i \sqrt{3}, - 2 i \sqrt{3}$

Step 3

Encontre o domínio de $f (x) = \frac{2 x}{x^{2} - 4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Defina o denominador em $\frac{2 x}{x^{2} - 4}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x^{2} - 4 = 0$

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Some $4$ aos dois lados da equação.

$x^{2} = 4$

Calcule a raiz quadrada dos dois lados da equação para eliminar o expoente do lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{4}$

Simplifique $\pm \sqrt{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 2$

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 2$

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 2$

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 2, - 2$

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \neq 2, - 2}$

Notação de intervalo:

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \neq 2, - 2}$

Step 4

Crie intervalos em torno dos valores $x$ , em que a segunda derivada é zero ou indefinida.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

Step 5

Substitua qualquer número do intervalo $(- \infty, - 2)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Substitua a variável $x$ por $- 4$ na expressão.

$f'' (- 4) = \frac{4 (- 4) ({(- 4)}^{2} + 12)}{{((- 4) + 2)}^{3} {((- 4) - 2)}^{3}}$

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Multiplique $4$ por $- 4$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 16 ({(- 4)}^{2} + 12)}{{(- 4 + 2)}^{3} {(- 4 - 2)}^{3}}$

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Some $- 4$ e $2$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 16 ({(- 4)}^{2} + 12)}{{(- 2)}^{3} {(- 4 - 2)}^{3}}$

Subtraia $2$ de $- 4$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 16 ({(- 4)}^{2} + 12)}{{(- 2)}^{3} {(- 6)}^{3}}$

Eleve $- 2$ à potência de $3$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 16 ({(- 4)}^{2} + 12)}{- 8 {(- 6)}^{3}}$

Eleve $- 6$ à potência de $3$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 16 ({(- 4)}^{2} + 12)}{- 8 \cdot - 216}$

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Eleve $- 4$ à potência de $2$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 16 (16 + 12)}{- 8 \cdot - 216}$

Some $16$ e $12$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 16 \cdot 28}{- 8 \cdot - 216}$

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Multiplique $- 8$ por $- 216$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 16 \cdot 28}{1728}$

Multiplique $- 16$ por $28$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 448}{1728}$

Cancele o fator comum de $- 448$ e $1728$ .

Toque para ver mais passagens...

Fatore $64$ de $- 448$ .

$f'' (- 4) = \frac{64 (- 7)}{1728}$

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Fatore $64$ de $1728$ .

$f'' (- 4) = \frac{64 \cdot - 7}{64 \cdot 27}$

Cancele o fator comum.

$f'' (- 4) = \frac{64 \cdot - 7}{64 \cdot 27}$

Reescreva a expressão.

$f'' (- 4) = \frac{- 7}{27}$

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (- 4) = - \frac{7}{27}$

A resposta final é $- \frac{7}{27}$ .

$- \frac{7}{27}$

O gráfico tem concavidade para baixo no intervalo $(- \infty, - 2)$ porque $f'' (- 4)$ é negativo.

Concavidade para baixo em $(- \infty, - 2)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Step 6

Substitua qualquer número do intervalo $(- 2, 0)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Substitua a variável $x$ por $- 1$ na expressão.

$f'' (- 1) = \frac{4 (- 1) ({(- 1)}^{2} + 12)}{{((- 1) + 2)}^{3} {((- 1) - 2)}^{3}}$

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$f'' (- 1) = \frac{- 4 ({(- 1)}^{2} + 12)}{{(- 1 + 2)}^{3} {(- 1 - 2)}^{3}}$

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Some $- 1$ e $2$ .

$f'' (- 1) = \frac{- 4 ({(- 1)}^{2} + 12)}{1^{3} {(- 1 - 2)}^{3}}$

Subtraia $2$ de $- 1$ .

$f'' (- 1) = \frac{- 4 ({(- 1)}^{2} + 12)}{1^{3} {(- 3)}^{3}}$

Um elevado a qualquer potência é um.

$f'' (- 1) = \frac{- 4 ({(- 1)}^{2} + 12)}{1 {(- 3)}^{3}}$

Eleve $- 3$ à potência de $3$ .

$f'' (- 1) = \frac{- 4 ({(- 1)}^{2} + 12)}{1 \cdot - 27}$

Multiplique $- 27$ por $1$ .

$f'' (- 1) = \frac{- 4 ({(- 1)}^{2} + 12)}{- 27}$

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f'' (- 1) = \frac{- 4 (1 + 12)}{- 27}$

Some $1$ e $12$ .

$f'' (- 1) = \frac{- 4 \cdot 13}{- 27}$

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Multiplique $- 4$ por $13$ .

$f'' (- 1) = \frac{- 52}{- 27}$

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$f'' (- 1) = \frac{52}{27}$

A resposta final é $\frac{52}{27}$ .

$\frac{52}{27}$

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $(- 2, 0)$ porque $f'' (- 1)$ é positivo.

Concavidade para cima em $(- 2, 0)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Step 7

Substitua qualquer número do intervalo $(0, 2)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f'' (1) = \frac{4 (1) ({(1)}^{2} + 12)}{{((1) + 2)}^{3} {((1) - 2)}^{3}}$

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Multiplique $4$ por $1$ .

$f'' (1) = \frac{4 (1^{2} + 12)}{{(1 + 2)}^{3} {(1 - 2)}^{3}}$

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Some $1$ e $2$ .

$f'' (1) = \frac{4 (1^{2} + 12)}{3^{3} {(1 - 2)}^{3}}$

Subtraia $2$ de $1$ .

$f'' (1) = \frac{4 (1^{2} + 12)}{3^{3} {(- 1)}^{3}}$

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$f'' (1) = \frac{4 (1^{2} + 12)}{27 {(- 1)}^{3}}$

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$f'' (1) = \frac{4 (1^{2} + 12)}{27 \cdot - 1}$

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Um elevado a qualquer potência é um.

$f'' (1) = \frac{4 (1 + 12)}{27 \cdot - 1}$

Some $1$ e $12$ .

$f'' (1) = \frac{4 \cdot 13}{27 \cdot - 1}$

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Multiplique $27$ por $- 1$ .

$f'' (1) = \frac{4 \cdot 13}{- 27}$

Multiplique $4$ por $13$ .

$f'' (1) = \frac{52}{- 27}$

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (1) = - \frac{52}{27}$

A resposta final é $- \frac{52}{27}$ .

$- \frac{52}{27}$

O gráfico tem concavidade para baixo no intervalo $(0, 2)$ porque $f'' (1)$ é negativo.

Concavidade para baixo em $(0, 2)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Step 8

Substitua qualquer número do intervalo $(2, \infty)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Substitua a variável $x$ por $4$ na expressão.

$f'' (4) = \frac{4 (4) ({(4)}^{2} + 12)}{{((4) + 2)}^{3} {((4) - 2)}^{3}}$

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Multiplique $4$ por $4$ .

$f'' (4) = \frac{16 (4^{2} + 12)}{{(4 + 2)}^{3} {(4 - 2)}^{3}}$

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Some $4$ e $2$ .

$f'' (4) = \frac{16 (4^{2} + 12)}{6^{3} {(4 - 2)}^{3}}$

Subtraia $2$ de $4$ .

$f'' (4) = \frac{16 (4^{2} + 12)}{6^{3} \cdot 2^{3}}$

Eleve $6$ à potência de $3$ .

$f'' (4) = \frac{16 (4^{2} + 12)}{216 \cdot 2^{3}}$

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$f'' (4) = \frac{16 (4^{2} + 12)}{216 \cdot 8}$

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$f'' (4) = \frac{16 (16 + 12)}{216 \cdot 8}$

Some $16$ e $12$ .

$f'' (4) = \frac{16 \cdot 28}{216 \cdot 8}$

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Multiplique $216$ por $8$ .

$f'' (4) = \frac{16 \cdot 28}{1728}$

Multiplique $16$ por $28$ .

$f'' (4) = \frac{448}{1728}$

Cancele o fator comum de $448$ e $1728$ .

Toque para ver mais passagens...

Fatore $64$ de $448$ .

$f'' (4) = \frac{64 (7)}{1728}$

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Fatore $64$ de $1728$ .

$f'' (4) = \frac{64 \cdot 7}{64 \cdot 27}$

Cancele o fator comum.

$f'' (4) = \frac{64 \cdot 7}{64 \cdot 27}$

Reescreva a expressão.

$f'' (4) = \frac{7}{27}$

A resposta final é $\frac{7}{27}$ .

$\frac{7}{27}$

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $(2, \infty)$ porque $f'' (4)$ é positivo.

Concavidade para cima em $(2, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Step 9

O gráfico tem concavidade para baixo quando a segunda derivada é negativa e concavidade para cima quando a segunda derivada é positiva.

Concavidade para baixo em $(- \infty, - 2)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Concavidade para cima em $(- 2, 0)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Concavidade para baixo em $(0, 2)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Concavidade para cima em $(2, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Step 10