Cálculo Exemplos

$x^{3} + 12 x^{2} + 36 x + 8$

Step 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} + 12 x^{2} + 36 x + 8$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36 x] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (36 x) + \frac{d}{d x} (8)$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (36 x) + \frac{d}{d x} (8)$

Avalie $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Como $12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $12 x^{2}$ em relação a $x$ é $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 12 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (36 x) + \frac{d}{d x} (8)$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 12 (2 x) + \frac{d}{d x} (36 x) + \frac{d}{d x} (8)$

Multiplique $2$ por $12$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 24 x + \frac{d}{d x} (36 x) + \frac{d}{d x} (8)$

Avalie $\frac{d}{d x} [36 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Como $36$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $36 x$ em relação a $x$ é $36 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 24 x + 36 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (8)$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 24 x + 36 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (8)$

Multiplique $36$ por $1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 24 x + 36 + \frac{d}{d x} (8)$

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 24 x + 36 + 0$

Some $3 x^{2} + 24 x + 36$ e $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 24 x + 36$

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $3 x^{2} + 24 x + 36$ .

$3 x^{2} + 24 x + 36$

Step 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $3 x^{2} + 24 x + 36 = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$3 x^{2} + 24 x + 36 = 0$

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Fatore $3$ de $3 x^{2} + 24 x + 36$ .

Toque para ver mais passagens...

Fatore $3$ de $3 x^{2}$ .

$3 (x^{2}) + 24 x + 36 = 0$

Fatore $3$ de $24 x$ .

$3 (x^{2}) + 3 (8 x) + 36 = 0$

Fatore $3$ de $36$ .

$3 x^{2} + 3 (8 x) + 3 \cdot 12 = 0$

Fatore $3$ de $3 x^{2} + 3 (8 x)$ .

$3 (x^{2} + 8 x) + 3 \cdot 12 = 0$

Fatore $3$ de $3 (x^{2} + 8 x) + 3 \cdot 12$ .

$3 (x^{2} + 8 x + 12) = 0$

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Fatore $x^{2} + 8 x + 12$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $12$ e cuja soma é $8$ .

$2, 6$

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$3 ((x + 2) (x + 6)) = 0$

Remova os parênteses desnecessários.

$3 (x + 2) (x + 6) = 0$

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

$x + 6 = 0$

Defina $x + 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Defina $x + 2$ como igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x = - 2$

Defina $x + 6$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Defina $x + 6$ como igual a $0$ .

$x + 6 = 0$

Subtraia $6$ dos dois lados da equação.

$x = - 6$

A solução final são todos os valores que tornam $3 (x + 2) (x + 6) = 0$ verdadeiro.

$x = - 2, - 6$

Step 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Step 4

Avalie $x^{3} + 12 x^{2} + 36 x + 8$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Avalie em $x = - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Substitua $- 2$ por $x$ .

${(- 2)}^{3} + 12 {(- 2)}^{2} + 36 (- 2) + 8$

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Eleve $- 2$ à potência de $3$ .

$- 8 + 12 {(- 2)}^{2} + 36 (- 2) + 8$

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$- 8 + 12 \cdot 4 + 36 (- 2) + 8$

Multiplique $12$ por $4$ .

$- 8 + 48 + 36 (- 2) + 8$

Multiplique $36$ por $- 2$ .

$- 8 + 48 - 72 + 8$

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Some $- 8$ e $48$ .

$40 - 72 + 8$

Subtraia $72$ de $40$ .

$- 32 + 8$

Some $- 32$ e $8$ .

$- 24$

Avalie em $x = - 6$ .

Toque para ver mais passagens...

Substitua $- 6$ por $x$ .

${(- 6)}^{3} + 12 {(- 6)}^{2} + 36 (- 6) + 8$

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Eleve $- 6$ à potência de $3$ .

$- 216 + 12 {(- 6)}^{2} + 36 (- 6) + 8$

Eleve $- 6$ à potência de $2$ .

$- 216 + 12 \cdot 36 + 36 (- 6) + 8$

Multiplique $12$ por $36$ .

$- 216 + 432 + 36 (- 6) + 8$

Multiplique $36$ por $- 6$ .

$- 216 + 432 - 216 + 8$

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Some $- 216$ e $432$ .

$216 - 216 + 8$

Subtraia $216$ de $216$ .

$0 + 8$

Some $0$ e $8$ .

$8$

Liste todos os pontos.

$(- 2, - 24), (- 6, 8)$

Step 5