Cálculo Exemplos

$y = t \ln^{2} (3 t)$

Step 1

Remova os parênteses.

$y = t \ln^{2} (3 t)$

Step 2

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d t} (y) = \frac{d}{d t} (t \ln^{2} (3 t))$

Step 3

A derivada de $y$ em relação a $t$ é $y'$ .

$y'$

Step 4

Diferencie o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ é $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ , em que $f (t) = t$ e $g (t) = \ln^{2} (3 t)$ .

$t \frac{d}{d t} [\ln^{2} (3 t)] + \ln^{2} (3 t) \frac{d}{d t} [t]$

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = t^{2}$ e $g (t) = \ln (3 t)$ .

Toque para ver mais passagens...

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\ln (3 t)$ .

$t (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d t} [\ln (3 t)]) + \ln^{2} (3 t) \frac{d}{d t} [t]$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$t (2 u_{1} \frac{d}{d t} [\ln (3 t)]) + \ln^{2} (3 t) \frac{d}{d t} [t]$

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\ln (3 t)$ .

$t (2 \ln (3 t) \frac{d}{d t} [\ln (3 t)]) + \ln^{2} (3 t) \frac{d}{d t} [t]$

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = \ln (t)$ e $g (t) = 3 t$ .

Toque para ver mais passagens...

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $3 t$ .

$t (2 \ln (3 t) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d t} [3 t])) + \ln^{2} (3 t) \frac{d}{d t} [t]$

A derivada de $\ln (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $\frac{1}{u_{2}}$ .

$t (2 \ln (3 t) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d t} [3 t])) + \ln^{2} (3 t) \frac{d}{d t} [t]$

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $3 t$ .

$t (2 \ln (3 t) (\frac{1}{3 t} \frac{d}{d t} [3 t])) + \ln^{2} (3 t) \frac{d}{d t} [t]$

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Combine $\frac{1}{3 t}$ e $2$ .

$t (\frac{2}{3 t} \ln (3 t) \frac{d}{d t} [3 t]) + \ln^{2} (3 t) \frac{d}{d t} [t]$

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Combine $\frac{2}{3 t}$ e $\ln (3 t)$ .

$t (\frac{2 \ln (3 t)}{3 t} \frac{d}{d t} [3 t]) + \ln^{2} (3 t) \frac{d}{d t} [t]$

Combine $\frac{2 \ln (3 t)}{3 t}$ e $t$ .

$\frac{2 \ln (3 t) t}{3 t} \frac{d}{d t} [3 t] + \ln^{2} (3 t) \frac{d}{d t} [t]$

Cancele o fator comum de $t$ .

Toque para ver mais passagens...

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \ln (3 t) t}{3 t} \frac{d}{d t} [3 t] + \ln^{2} (3 t) \frac{d}{d t} [t]$

Reescreva a expressão.

$\frac{2 \ln (3 t)}{3} \frac{d}{d t} [3 t] + \ln^{2} (3 t) \frac{d}{d t} [t]$

Como $3$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $3 t$ em relação a $t$ é $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{2 \ln (3 t)}{3} (3 \frac{d}{d t} [t]) + \ln^{2} (3 t) \frac{d}{d t} [t]$

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Combine $3$ e $\frac{2 \ln (3 t)}{3}$ .

$\frac{3 (2 \ln (3 t))}{3} \frac{d}{d t} [t] + \ln^{2} (3 t) \frac{d}{d t} [t]$

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{6 \ln (3 t)}{3} \frac{d}{d t} [t] + \ln^{2} (3 t) \frac{d}{d t} [t]$

Cancele o fator comum de $6$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Fatore $3$ de $6 \ln (3 t)$ .

$\frac{3 (2 \ln (3 t))}{3} \frac{d}{d t} [t] + \ln^{2} (3 t) \frac{d}{d t} [t]$

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Fatore $3$ de $3$ .

$\frac{3 (2 \ln (3 t))}{3 (1)} \frac{d}{d t} [t] + \ln^{2} (3 t) \frac{d}{d t} [t]$

Cancele o fator comum.

$\frac{3 (2 \ln (3 t))}{3 \cdot 1} \frac{d}{d t} [t] + \ln^{2} (3 t) \frac{d}{d t} [t]$

Reescreva a expressão.

$\frac{2 \ln (3 t)}{1} \frac{d}{d t} [t] + \ln^{2} (3 t) \frac{d}{d t} [t]$

Divida $2 \ln (3 t)$ por $1$ .

$2 \ln (3 t) \frac{d}{d t} [t] + \ln^{2} (3 t) \frac{d}{d t} [t]$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \ln (3 t) \cdot 1 + \ln^{2} (3 t) \frac{d}{d t} [t]$

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 \ln (3 t) + \ln^{2} (3 t) \frac{d}{d t} [t]$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \ln (3 t) + \ln^{2} (3 t) \cdot 1$

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Multiplique $\ln^{2} (3 t)$ por $1$ .

$2 \ln (3 t) + \ln^{2} (3 t)$

Reordene os termos.

$\ln^{2} (3 t) + 2 \ln (3 t)$

Step 5

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = \ln^{2} (3 t) + 2 \ln (3 t)$

Step 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d t}$ .

$\frac{d y}{d t} = \ln^{2} (3 t) + 2 \ln (3 t)$