Cálculo Exemplos

$f (x) = \sqrt{3 x - 7}$

Step 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3 x - 7}$ como ${(3 x - 7)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(3 x - 7)}^{\frac{1}{2}})$

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 3 x - 7$ .

Toque para ver mais passagens...

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $3 x - 7$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (3 x - 7)$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (3 x - 7)$

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3 x - 7$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(3 x - 7)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (3 x - 7)$

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(3 x - 7)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (3 x - 7)$

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(3 x - 7)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (3 x - 7)$

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(3 x - 7)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (3 x - 7)$

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(3 x - 7)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (3 x - 7)$

Subtraia $2$ de $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(3 x - 7)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (3 x - 7)$

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(3 x - 7)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (3 x - 7)$

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(3 x - 7)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{{(3 x - 7)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (3 x - 7)$

Mova ${(3 x - 7)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(3 x - 7)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (3 x - 7)$

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x - 7$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(3 x - 7)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (- 7))$

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(3 x - 7)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (3 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 7))$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(3 x - 7)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 7))$

Multiplique $3$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(3 x - 7)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (3 + \frac{d}{d x} (- 7))$

Como $- 7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 7$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(3 x - 7)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (3 + 0)$

Combine frações.

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Some $3$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(3 x - 7)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 3$

Combine $\frac{1}{2 {(3 x - 7)}^{\frac{1}{2}}}$ e $3$ .

$f' (x) = \frac{3}{2 {(3 x - 7)}^{\frac{1}{2}}}$

Step 2

Encontre a segunda derivada.

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Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

Toque para ver mais passagens...

Como $\frac{3}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{3}{2 {(3 x - 7)}^{\frac{1}{2}}}$ em relação a $x$ é $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(3 x - 7)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(3 x - 7)}^{\frac{1}{2}}})$

Aplique regras básicas de expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Reescreva $\frac{1}{{(3 x - 7)}^{\frac{1}{2}}}$ como ${({(3 x - 7)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{d}{d x} ({({(3 x - 7)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1})$

Multiplique os expoentes em ${({(3 x - 7)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{d}{d x} ({(3 x - 7)}^{\frac{1}{2} \cdot - 1})$

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{d}{d x} ({(3 x - 7)}^{\frac{- 1}{2}})$

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{d}{d x} ({(3 x - 7)}^{- \frac{1}{2}})$

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- \frac{1}{2}}$ e $g (x) = 3 x - 7$ .

Toque para ver mais passagens...

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $3 x - 7$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot (\frac{d}{d u} (u^{- \frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (3 x - 7))$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot (- \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (3 x - 7))$

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3 x - 7$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot {(3 x - 7)}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (3 x - 7))$

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot {(3 x - 7)}^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (3 x - 7))$

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot {(3 x - 7)}^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (3 x - 7))$

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot {(3 x - 7)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (3 x - 7))$

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot {(3 x - 7)}^{\frac{- 1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (3 x - 7))$

Subtraia $2$ de $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot {(3 x - 7)}^{\frac{- 3}{2}} \frac{d}{d x} (3 x - 7))$

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot {(3 x - 7)}^{- \frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (3 x - 7))$

Combine ${(3 x - 7)}^{- \frac{3}{2}}$ e $\frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot (- \frac{{(3 x - 7)}^{- \frac{3}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (3 x - 7))$

Mova ${(3 x - 7)}^{- \frac{3}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot (- \frac{1}{2 {(3 x - 7)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (3 x - 7))$

Multiplique $\frac{3}{2}$ por $\frac{1}{2 {(3 x - 7)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2 (2 {(3 x - 7)}^{\frac{3}{2}})} \cdot \frac{d}{d x} (3 x - 7)$

Multiplique $2$ por $2$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{4 {(3 x - 7)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (3 x - 7)$

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x - 7$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{4 {(3 x - 7)}^{\frac{3}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (- 7))$

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{4 {(3 x - 7)}^{\frac{3}{2}}} \cdot (3 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 7))$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{4 {(3 x - 7)}^{\frac{3}{2}}} \cdot (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 7))$

Multiplique $3$ por $1$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{4 {(3 x - 7)}^{\frac{3}{2}}} \cdot (3 + \frac{d}{d x} (- 7))$

Como $- 7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 7$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{4 {(3 x - 7)}^{\frac{3}{2}}} \cdot (3 + 0)$

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Some $3$ e $0$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{4 {(3 x - 7)}^{\frac{3}{2}}} \cdot 3$

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - 3 \frac{3}{4 {(3 x - 7)}^{\frac{3}{2}}}$

Combine $- 3$ e $\frac{3}{4 {(3 x - 7)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 3 \cdot 3}{4 {(3 x - 7)}^{\frac{3}{2}}}$

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Multiplique $- 3$ por $3$ .

$f'' (x) = \frac{- 9}{4 {(3 x - 7)}^{\frac{3}{2}}}$

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = - \frac{9}{4 {(3 x - 7)}^{\frac{3}{2}}}$

Step 3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- \frac{9}{4 {(3 x - 7)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$- \frac{9}{4 {(3 x - 7)}^{\frac{3}{2}}}$