Cálculo Exemplos

$y = x^{3} - 3 x^{2} + 1$

Step 1

Escreva $y = x^{3} - 3 x^{2} + 1$ como uma função.

$f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 1$

Step 2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} - 3 x^{2} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)$

Avalie $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (1)$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 6 x + \frac{d}{d x} (1)$

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 6 x + 0$

Some $3 x^{2} - 6 x$ e $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 6 x$

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{2} - 6 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x)$

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{2}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x)$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 6 x)$

Multiplique $2$ por $3$ .

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (- 6 x)$

Avalie $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 6 x$ em relação a $x$ é $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 6 x - 6 \frac{d}{d x} x$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 6 x - 6 \cdot 1$

Multiplique $- 6$ por $1$ .

$f'' (x) = 6 x - 6$

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $6 x - 6$ .

$6 x - 6$

Step 3

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $6 x - 6 = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$6 x - 6 = 0$

Some $6$ aos dois lados da equação.

$6 x = 6$

Divida cada termo em $6 x = 6$ por $6$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Divida cada termo em $6 x = 6$ por $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{6}{6}$

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Cancele o fator comum de $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Cancele o fator comum.

$\frac{6 x}{6} = \frac{6}{6}$

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{6}{6}$

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Divida $6$ por $6$ .

$x = 1$

Step 4

Encontre os pontos em que a segunda derivada é $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Substitua $1$ em $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 1$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f (1) = {(1)}^{3} - 3 {(1)}^{2} + 1$

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (1) = 1 - 3 {(1)}^{2} + 1$

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (1) = 1 - 3 \cdot 1 + 1$

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$f (1) = 1 - 3 + 1$

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Subtraia $3$ de $1$ .

$f (1) = - 2 + 1$

Some $- 2$ e $1$ .

$f (1) = - 1$

A resposta final é $- 1$ .

$- 1$

O ponto encontrado ao substituir $1$ em $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 1$ é $(1, - 1)$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(1, - 1)$

Step 5

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos em torno dos pontos que poderiam ser pontos de inflexão.

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Step 6

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, 1)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Substitua a variável $x$ por $0.9$ na expressão.

$f'' (0.9) = 6 (0.9) - 6$

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Multiplique $6$ por $0.9$ .

$f'' (0.9) = 5.4 - 6$

Subtraia $6$ de $5.4$ .

$f'' (0.9) = - 0.6$

A resposta final é $- 0.6$ .

$- 0.6$

Em $0.9$ , a segunda derivada é $- 0.6$ . Por ser negativa, a segunda derivada diminui no intervalo $(- \infty, 1)$ .

Decréscimo em $(- \infty, 1)$ , pois $f'' (x) < 0$

Step 7

Substitua um valor do intervalo $(1, \infty)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Substitua a variável $x$ por $1.1$ na expressão.

$f'' (1.1) = 6 (1.1) - 6$

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Multiplique $6$ por $1.1$ .

$f'' (1.1) = 6.6 - 6$

Subtraia $6$ de $6.6$ .

$f'' (1.1) = 0.6$

A resposta final é $0.6$ .

$0.6$

Em $1.1$ , a segunda derivada é $0.6$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(1, \infty)$ .

Acréscimo em $(1, \infty)$ , pois $f'' (x) > 0$

Step 8

O ponto de inflexão é um ponto em uma curva em que a concavidade muda do sinal de adição para o de subtração ou vice-versa. Neste caso, o ponto de inflexão é $(1, - 1)$ .

$(1, - 1)$

Step 9