Cálculo Exemplos

$x = 1$ , $x = 3$ , $y = x^{3} - 8$ , $y = 0$

Step 1

Resolva por substituição para encontrar a intersecção entre as curvas.

Toque para ver mais passagens...

Elimine os lados iguais de cada equação e combine.

$x^{3} - 8 = 0$

Resolva $x^{3} - 8 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Some $8$ aos dois lados da equação.

$x^{3} = 8$

Subtraia $8$ dos dois lados da equação.

$x^{3} - 8 = 0$

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Reescreva $8$ como $2^{3}$ .

$x^{3} - 2^{3} = 0$

Como os dois termos são cubos perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ em que $a = x$ e $b = 2$ .

$(x - 2) (x^{2} + x \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$(x - 2) (x^{2} + 2 x + 2^{2}) = 0$

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) = 0$

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

$x^{2} + 2 x + 4 = 0 + y = 0$

Defina $x - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Defina $x^{2} + 2 x + 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Defina $x^{2} + 2 x + 4$ como igual a $0$ .

$x^{2} + 2 x + 4 = 0$

Resolva $x^{2} + 2 x + 4 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a} + y = 0$

Substitua os valores $a = 1$ , $b = 2$ e $c = 4$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1} + y = 0$

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Multiplique $- 4$ por $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Subtraia $16$ de $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Reescreva $- 12$ como $- 1 (12)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Reescreva $\sqrt{- 1 (12)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Reescreva $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Fatore $4$ de $12$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Mova $2$ para a esquerda de $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Simplifique $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Multiplique $- 4$ por $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Subtraia $16$ de $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Reescreva $- 12$ como $- 1 (12)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Reescreva $\sqrt{- 1 (12)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Reescreva $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Fatore $4$ de $12$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Mova $2$ para a esquerda de $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Simplifique $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Altere $\pm$ para $+$ .

$x = - 1 + i \sqrt{3}$

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Multiplique $- 4$ por $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Subtraia $16$ de $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Reescreva $- 12$ como $- 1 (12)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Reescreva $\sqrt{- 1 (12)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Reescreva $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Fatore $4$ de $12$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Mova $2$ para a esquerda de $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Simplifique $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Altere $\pm$ para $-$ .

$x = - 1 - i \sqrt{3}$

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) = 0$ verdadeiro.

$x = 2, - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

Substitua $2$ por $x$ .

$y = 0$

Liste todas as soluções.

$y = 0, x = 2$

$y = 0, x = - 1 + i \sqrt{3}$

$y = 0, x = - 1 - i \sqrt{3}$

$y = 0, x = 2$

$y = 0, x = - 1 + i \sqrt{3}$

$y = 0, x = - 1 - i \sqrt{3}$

Step 2

A área da região entre as curvas é definida como a integral da curva superior menos a integral da curva inferior sobre cada região. As regiões são determinadas pelos pontos de intersecção das curvas. É possível fazer isso de forma algébrica ou gráfica.

$A r e a = \int_{1}^{3} x^{3} - 8 d x - \int_{1}^{3} 0 d x$

Step 3

Integre para encontrar a área entre $1$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Integre para encontrar a área entre $1$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Combine as integrais em uma única integral.

$\int_{1}^{3} 0 - (x^{3} - 8) d x$

Subtraia $x^{3} - 8$ de $0$ .

$\int_{1}^{3} - (x^{3} - 8) d x$

Aplique a propriedade distributiva.

$\int_{1}^{3} - x^{3} + 8 d x$

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{1}^{3} - x^{3} d x + \int_{1}^{3} 8 d x$

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int_{1}^{3} x^{3} d x + \int_{1}^{3} 8 d x$

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$- (\frac{1}{4} x^{4}]_{1}^{3}) + \int_{1}^{3} 8 d x$

Combine $\frac{1}{4}$ e $x^{4}$ .

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{3}) + \int_{1}^{3} 8 d x$

Aplique a regra da constante.

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{3}) + 8 x]_{1}^{3}$

Substitua e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Avalie $\frac{x^{4}}{4}$ em $3$ e em $1$ .

$- ((\frac{3^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4}) + 8 x]_{1}^{3}$

Avalie $8 x$ em $3$ e em $1$ .

$- (\frac{3^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4}) + 8 \cdot 3 - 8 \cdot 1$

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Eleve $3$ à potência de $4$ .

$- (\frac{81}{4} - \frac{1^{4}}{4}) + 8 \cdot 3 - 8 \cdot 1$

Um elevado a qualquer potência é um.

$- (\frac{81}{4} - \frac{1}{4}) + 8 \cdot 3 - 8 \cdot 1$

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{81 - 1}{4} + 8 \cdot 3 - 8 \cdot 1$

Subtraia $1$ de $81$ .

$- \frac{80}{4} + 8 \cdot 3 - 8 \cdot 1$

Cancele o fator comum de $80$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Fatore $4$ de $80$ .

$- \frac{4 \cdot 20}{4} + 8 \cdot 3 - 8 \cdot 1$

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Fatore $4$ de $4$ .

$- \frac{4 \cdot 20}{4 (1)} + 8 \cdot 3 - 8 \cdot 1$

Cancele o fator comum.

$- \frac{4 \cdot 20}{4 \cdot 1} + 8 \cdot 3 - 8 \cdot 1$

Reescreva a expressão.

$- \frac{20}{1} + 8 \cdot 3 - 8 \cdot 1$

Divida $20$ por $1$ .

$- 1 \cdot 20 + 8 \cdot 3 - 8 \cdot 1$

Multiplique $- 1$ por $20$ .

$- 20 + 8 \cdot 3 - 8 \cdot 1$

Multiplique $8$ por $3$ .

$- 20 + 24 - 8 \cdot 1$

Multiplique $- 8$ por $1$ .

$- 20 + 24 - 8$

Subtraia $8$ de $24$ .

$- 20 + 16$

Some $- 20$ e $16$ .

$- 4$

Combine as integrais em uma única integral.

$\int_{1}^{3} x^{3} - 8 - (0) d x$

Subtraia $0$ de $x^{3} - 8$ .

$\int_{1}^{3} x^{3} - 8 d x$

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{1}^{3} x^{3} d x + \int_{1}^{3} - 8 d x$

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{1}^{3} + \int_{1}^{3} - 8 d x$

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{4} x^{4}]_{1}^{3} + - 8 x]_{1}^{3}$

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Combine $\frac{1}{4} x^{4}]_{1}^{3}$ e $- 8 x]_{1}^{3}$ .

$\frac{1}{4} x^{4} - 8 x]_{1}^{3}$

Substitua e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Avalie $\frac{1}{4} x^{4} - 8 x$ em $3$ e em $1$ .

$(\frac{1}{4} \cdot 3^{4} - 8 \cdot 3) - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 8 \cdot 1)$

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Eleve $3$ à potência de $4$ .

$\frac{1}{4} \cdot 81 - 8 \cdot 3 - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 8 \cdot 1)$

Combine $\frac{1}{4}$ e $81$ .

$\frac{81}{4} - 8 \cdot 3 - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 8 \cdot 1)$

Multiplique $- 8$ por $3$ .

$\frac{81}{4} - 24 - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 8 \cdot 1)$

Para escrever $- 24$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{81}{4} - 24 \cdot \frac{4}{4} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 8 \cdot 1)$

Combine $- 24$ e $\frac{4}{4}$ .

$\frac{81}{4} + \frac{- 24 \cdot 4}{4} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 8 \cdot 1)$

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{81 - 24 \cdot 4}{4} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 8 \cdot 1)$

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Multiplique $- 24$ por $4$ .

$\frac{81 - 96}{4} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 8 \cdot 1)$

Subtraia $96$ de $81$ .

$\frac{- 15}{4} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 8 \cdot 1)$

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{15}{4} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 8 \cdot 1)$

Um elevado a qualquer potência é um.

$- \frac{15}{4} - (\frac{1}{4} \cdot 1 - 8 \cdot 1)$

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $1$ .

$- \frac{15}{4} - (\frac{1}{4} - 8 \cdot 1)$

Multiplique $- 8$ por $1$ .

$- \frac{15}{4} - (\frac{1}{4} - 8)$

Para escrever $- 8$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{15}{4} - (\frac{1}{4} - 8 \cdot \frac{4}{4})$

Combine $- 8$ e $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{15}{4} - (\frac{1}{4} + \frac{- 8 \cdot 4}{4})$

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{15}{4} - \frac{1 - 8 \cdot 4}{4}$

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Multiplique $- 8$ por $4$ .

$- \frac{15}{4} - \frac{1 - 32}{4}$

Subtraia $32$ de $1$ .

$- \frac{15}{4} - \frac{- 31}{4}$

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{15}{4} - - \frac{31}{4}$

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$- \frac{15}{4} + 1 (\frac{31}{4})$

Multiplique $\frac{31}{4}$ por $1$ .

$- \frac{15}{4} + \frac{31}{4}$

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 15 + 31}{4}$

Some $- 15$ e $31$ .

$\frac{16}{4}$

Cancele o fator comum de $16$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Fatore $4$ de $16$ .

$\frac{4 \cdot 4}{4}$

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Fatore $4$ de $4$ .

$\frac{4 \cdot 4}{4 (1)}$

Cancele o fator comum.

$\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Reescreva a expressão.

$\frac{4}{1}$

Divida $4$ por $1$ .

$4$

Step 4