Cálculo Exemplos

$\frac{x - 4}{x^{2}}$

Step 1

Escreva $\frac{x - 4}{x^{2}}$ como uma função.

$f (x) = \frac{x - 4}{x^{2}}$

Step 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x - 4$ e $g (x) = x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (x - 4) - (x - 4) \frac{d}{d x} x^{2}}{{(x^{2})}^{2}}$

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (x - 4) - (x - 4) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{2 \cdot 2}}$

Multiplique $2$ por $2$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (x - 4) - (x - 4) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4)) - (x - 4) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} (1 + \frac{d}{d x} (- 4)) - (x - 4) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} (1 + 0) - (x - 4) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Some $1$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} \cdot 1 - (x - 4) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - (x - 4) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - (x - 4) (2 x)}{x^{4}}$

Simplifique com fatoração.

Toque para ver mais passagens...

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 2 (x - 4) x}{x^{4}}$

Fatore $x$ de $x^{2} - 2 (x - 4) x$ .

Toque para ver mais passagens...

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{x \cdot x - 2 (x - 4) x}{x^{4}}$

Fatore $x$ de $- 2 (x - 4) x$ .

$f' (x) = \frac{x \cdot x + x (- 2 (x - 4))}{x^{4}}$

Fatore $x$ de $x \cdot x + x (- 2 (x - 4))$ .

$f' (x) = \frac{x (x - 2 (x - 4))}{x^{4}}$

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Fatore $x$ de $x^{4}$ .

$f' (x) = \frac{x (x - 2 (x - 4))}{x \cdot x^{3}}$

Cancele o fator comum.

$f' (x) = \frac{x (x - 2 (x - 4))}{x \cdot x^{3}}$

Reescreva a expressão.

$f' (x) = \frac{x - 2 (x - 4)}{x^{3}}$

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = \frac{x - 2 x - 2 \cdot - 4}{x^{3}}$

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Multiplique $- 2$ por $- 4$ .

$f' (x) = \frac{x - 2 x + 8}{x^{3}}$

Subtraia $2 x$ de $x$ .

$f' (x) = \frac{- x + 8}{x^{3}}$

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$f' (x) = \frac{- (x) + 8}{x^{3}}$

Reescreva $8$ como $- 1 (- 8)$ .

$f' (x) = \frac{- (x) - 1 \cdot - 8}{x^{3}}$

Fatore $- 1$ de $- (x) - 1 (- 8)$ .

$f' (x) = \frac{- (x - 8)}{x^{3}}$

Reescreva $- (x - 8)$ como $- 1 (x - 8)$ .

$f' (x) = \frac{- 1 (x - 8)}{x^{3}}$

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = - \frac{x - 8}{x^{3}}$

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = - 1$ e $g (x) = \frac{x - 8}{x^{3}}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \cdot \frac{x - 8}{x^{3}} + \frac{x - 8}{x^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

$f'' (x) = - \frac{x^{3} \frac{d}{d x} (x - 8) - (x - 8) \frac{d}{d x} x^{3}}{{(x^{3})}^{2}} + \frac{x - 8}{x^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Multiplique os expoentes em ${(x^{3})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{3} \frac{d}{d x} (x - 8) - (x - 8) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{3 \cdot 2}} + \frac{x - 8}{x^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Multiplique $3$ por $2$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{3} \frac{d}{d x} (x - 8) - (x - 8) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}} + \frac{x - 8}{x^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 8$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{3} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 8)) - (x - 8) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}} + \frac{x - 8}{x^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{3} (1 + \frac{d}{d x} (- 8)) - (x - 8) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}} + \frac{x - 8}{x^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Como $- 8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 8$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{3} (1 + 0) - (x - 8) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}} + \frac{x - 8}{x^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Some $1$ e $0$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{3} \cdot 1 - (x - 8) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}} + \frac{x - 8}{x^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Multiplique $x^{3}$ por $1$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{3} - (x - 8) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}} + \frac{x - 8}{x^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{3} - (x - 8) (3 x^{2})}{x^{6}} + \frac{x - 8}{x^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Simplifique com fatoração.

Toque para ver mais passagens...

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{3} - 3 (x - 8) x^{2}}{x^{6}} + \frac{x - 8}{x^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Fatore $x^{2}$ de $x^{3} - 3 (x - 8) x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Fatore $x^{2}$ de $x^{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{2} x - 3 (x - 8) x^{2}}{x^{6}} + \frac{x - 8}{x^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Fatore $x^{2}$ de $- 3 (x - 8) x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{2} x + x^{2} (- 3 (x - 8))}{x^{6}} + \frac{x - 8}{x^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Fatore $x^{2}$ de $x^{2} x + x^{2} (- 3 (x - 8))$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{2} (x - 3 (x - 8))}{x^{6}} + \frac{x - 8}{x^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Fatore $x^{2}$ de $x^{6}$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{2} (x - 3 (x - 8))}{x^{2} x^{4}} + \frac{x - 8}{x^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = - \frac{x^{2} (x - 3 (x - 8))}{x^{2} x^{4}} + \frac{x - 8}{x^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = - \frac{x - 3 (x - 8)}{x^{4}} + \frac{x - 8}{x^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = - \frac{x - 3 (x - 8)}{x^{4}} + \frac{x - 8}{x^{3}} \cdot 0$

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Multiplique $\frac{x - 8}{x^{3}}$ por $0$ .

$f'' (x) = - \frac{x - 3 (x - 8)}{x^{4}} + 0$

Some $- \frac{x - 3 (x - 8)}{x^{4}}$ e $0$ .

$f'' (x) = - \frac{x - 3 (x - 8)}{x^{4}}$

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - \frac{x - 3 x - 3 \cdot - 8}{x^{4}}$

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Multiplique $- 3$ por $- 8$ .

$f'' (x) = - \frac{x - 3 x + 24}{x^{4}}$

Subtraia $3 x$ de $x$ .

$f'' (x) = - \frac{- 2 x + 24}{x^{4}}$

Fatore $2$ de $- 2 x + 24$ .

Toque para ver mais passagens...

Fatore $2$ de $- 2 x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- x) + 24}{x^{4}}$

Fatore $2$ de $24$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- x) + 2 (12)}{x^{4}}$

Fatore $2$ de $2 (- x) + 2 (12)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- x + 12)}{x^{4}}$

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- (x) + 12)}{x^{4}}$

Reescreva $12$ como $- 1 (- 12)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- (x) - 1 \cdot - 12)}{x^{4}}$

Fatore $- 1$ de $- (x) - 1 (- 12)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- (x - 12))}{x^{4}}$

Reescreva $- (x - 12)$ como $- 1 (x - 12)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- 1 (x - 12))}{x^{4}}$

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = \frac{2 (x - 12)}{x^{4}}$

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{2 (x - 12)}{x^{4}})$

Multiplique $\frac{2 (x - 12)}{x^{4}}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x - 12)}{x^{4}}$

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{2 (x - 12)}{x^{4}}$ .

$\frac{2 (x - 12)}{x^{4}}$

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{2 (x - 12)}{x^{4}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$\frac{2 (x - 12)}{x^{4}} = 0$

Defina o numerador como igual a zero.

$2 (x - 12) = 0$

Resolva a equação para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Divida cada termo em $2 (x - 12) = 0$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Divida cada termo em $2 (x - 12) = 0$ por $2$ .

$\frac{2 (x - 12)}{2} = \frac{0}{2}$

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (x - 12)}{2} = \frac{0}{2}$

Divida $x - 12$ por $1$ .

$x - 12 = \frac{0}{2}$

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Divida $0$ por $2$ .

$x - 12 = 0$

Some $12$ aos dois lados da equação.

$x = 12$

Step 3

Encontre o domínio de $f (x) = \frac{x - 4}{x^{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Defina o denominador em $\frac{x - 4}{x^{2}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x^{2} = 0$

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Calcule a raiz quadrada dos dois lados da equação para eliminar o expoente do lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

Simplifique $\pm \sqrt{0}$ .

Toque para ver mais passagens...

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 0$

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$x = 0$

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \neq 0}$

Notação de intervalo:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \neq 0}$

Step 4

Crie intervalos em torno dos valores $x$ , em que a segunda derivada é zero ou indefinida.

$(- \infty, 0) \cup (0, 12) \cup (12, \infty)$

Step 5

Substitua qualquer número do intervalo $(- \infty, 0)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Substitua a variável $x$ por $- 2$ na expressão.

$f'' (- 2) = \frac{2 ((- 2) - 12)}{{(- 2)}^{4}}$

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Cancele o fator comum de $2$ e ${(- 2)}^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Reescreva $2$ como $- 1 (- 2)$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 1 \cdot - 2 ((- 2) - 12)}{{(- 2)}^{4}}$

Fatore $- 2$ de $- 1 (- 2) (- 2 - 12)$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 2 (- 1 (- 2 - 12))}{{(- 2)}^{4}}$

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Fatore $- 2$ de ${(- 2)}^{4}$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 2 (- 1 (- 2 - 12))}{- 2 {(- 2)}^{3}}$

Cancele o fator comum.

$f'' (- 2) = \frac{- 2 (- 1 (- 2 - 12))}{- 2 {(- 2)}^{3}}$

Reescreva a expressão.

$f'' (- 2) = \frac{- 1 (- 2 - 12)}{{(- 2)}^{3}}$

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Subtraia $12$ de $- 2$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 1 \cdot - 14}{{(- 2)}^{3}}$

Eleve $- 2$ à potência de $3$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 1 \cdot - 14}{- 8}$

Multiplique $- 1$ por $- 14$ .

$f'' (- 2) = \frac{14}{- 8}$

Cancele o fator comum de $14$ e $- 8$ .

Toque para ver mais passagens...

Fatore $2$ de $14$ .

$f'' (- 2) = \frac{2 (7)}{- 8}$

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Fatore $2$ de $- 8$ .

$f'' (- 2) = \frac{2 \cdot 7}{2 \cdot - 4}$

Cancele o fator comum.

$f'' (- 2) = \frac{2 \cdot 7}{2 \cdot - 4}$

Reescreva a expressão.

$f'' (- 2) = \frac{7}{- 4}$

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (- 2) = - \frac{7}{4}$

A resposta final é $- \frac{7}{4}$ .

$- \frac{7}{4}$

O gráfico tem concavidade para baixo no intervalo $(- \infty, 0)$ porque $f'' (- 2)$ é negativo.

Concavidade para baixo em $(- \infty, 0)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Step 6

Substitua qualquer número do intervalo $(0, 12)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f'' (2) = \frac{2 ((2) - 12)}{{(2)}^{4}}$

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Fatore $2$ de ${(2)}^{4}$ .

$f'' (2) = \frac{2 ((2) - 12)}{2 \cdot 2^{3}}$

Cancele o fator comum.

$f'' (2) = \frac{2 ((2) - 12)}{2 \cdot 2^{3}}$

Reescreva a expressão.

$f'' (2) = \frac{(2) - 12}{2^{3}}$

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Subtraia $12$ de $2$ .

$f'' (2) = \frac{- 10}{2^{3}}$

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$f'' (2) = \frac{- 10}{8}$

Cancele o fator comum de $- 10$ e $8$ .

Toque para ver mais passagens...

Fatore $2$ de $- 10$ .

$f'' (2) = \frac{2 (- 5)}{8}$

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Fatore $2$ de $8$ .

$f'' (2) = \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot 4}$

Cancele o fator comum.

$f'' (2) = \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot 4}$

Reescreva a expressão.

$f'' (2) = \frac{- 5}{4}$

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (2) = - \frac{5}{4}$

A resposta final é $- \frac{5}{4}$ .

$- \frac{5}{4}$

O gráfico tem concavidade para baixo no intervalo $(0, 12)$ porque $f'' (2)$ é negativo.

Concavidade para baixo em $(0, 12)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Step 7

Substitua qualquer número do intervalo $(12, \infty)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Substitua a variável $x$ por $14$ na expressão.

$f'' (14) = \frac{2 ((14) - 12)}{{(14)}^{4}}$

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Subtraia $12$ de $14$ .

$f'' (14) = \frac{2 \cdot 2}{14^{4}}$

Eleve $14$ à potência de $4$ .

$f'' (14) = \frac{2 \cdot 2}{38416}$

Multiplique $2$ por $2$ .

$f'' (14) = \frac{4}{38416}$

Cancele o fator comum de $4$ e $38416$ .

Toque para ver mais passagens...

Fatore $4$ de $4$ .

$f'' (14) = \frac{4 (1)}{38416}$

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Fatore $4$ de $38416$ .

$f'' (14) = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 9604}$

Cancele o fator comum.

$f'' (14) = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 9604}$

Reescreva a expressão.

$f'' (14) = \frac{1}{9604}$

A resposta final é $\frac{1}{9604}$ .

$\frac{1}{9604}$

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $(12, \infty)$ porque $f'' (14)$ é positivo.

Concavidade para cima em $(12, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Step 8

O gráfico tem concavidade para baixo quando a segunda derivada é negativa e concavidade para cima quando a segunda derivada é positiva.

Concavidade para baixo em $(- \infty, 0)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Concavidade para baixo em $(0, 12)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Concavidade para cima em $(12, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Step 9