Cálculo Exemplos

$x^{3}$

Step 1

Escreva $x^{3}$ como uma função.

$f (x) = x^{3}$

Step 2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f' (x) = 3 x^{2}$

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{2}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2})$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 (2 x)$

Multiplique $2$ por $3$ .

$f'' (x) = 6 x$

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $6 x$ .

$6 x$

Step 3

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $6 x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$6 x = 0$

Divida cada termo em $6 x = 0$ por $6$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Divida cada termo em $6 x = 0$ por $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{0}{6}$

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Cancele o fator comum de $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Cancele o fator comum.

$\frac{6 x}{6} = \frac{0}{6}$

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{6}$

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Divida $0$ por $6$ .

$x = 0$

Step 4

Encontre os pontos em que a segunda derivada é $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Substitua $0$ em $f (x) = x^{3}$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = {(0)}^{3}$

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = 0$

A resposta final é $0$ .

$0$

O ponto encontrado ao substituir $0$ em $f (x) = x^{3}$ é $(0, 0)$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(0, 0)$

Step 5

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos em torno dos pontos que poderiam ser pontos de inflexão.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Step 6

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, 0)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Substitua a variável $x$ por $- 0.1$ na expressão.

$f'' (- 0.1) = 6 (- 0.1)$

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Multiplique $6$ por $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = - 0.6$

A resposta final é $- 0.6$ .

$- 0.6$

Em $- 0.1$ , a segunda derivada é $- 0.6$ . Por ser negativa, a segunda derivada diminui no intervalo $(- \infty, 0)$ .

Decréscimo em $(- \infty, 0)$ , pois $f'' (x) < 0$

Step 7

Substitua um valor do intervalo $(0, \infty)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Substitua a variável $x$ por $0.1$ na expressão.

$f'' (0.1) = 6 (0.1)$

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Multiplique $6$ por $0.1$ .

$f'' (0.1) = 0.6$

A resposta final é $0.6$ .

$0.6$

Em $0.1$ , a segunda derivada é $0.6$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(0, \infty)$ .

Acréscimo em $(0, \infty)$ , pois $f'' (x) > 0$

Step 8

O ponto de inflexão é um ponto em uma curva em que a concavidade muda do sinal de adição para o de subtração ou vice-versa. Neste caso, o ponto de inflexão é $(0, 0)$ .

$(0, 0)$

Step 9