Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{4}$

Step 1

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3}$

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{3}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3})$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2})$

Multiplique $3$ por $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2}$

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $12 x^{2}$ .

$12 x^{2}$

Step 2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $12 x^{2} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$12 x^{2} = 0$

Divida cada termo em $12 x^{2} = 0$ por $12$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Divida cada termo em $12 x^{2} = 0$ por $12$ .

$\frac{12 x^{2}}{12} = \frac{0}{12}$

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Cancele o fator comum de $12$ .

Toque para ver mais passagens...

Cancele o fator comum.

$\frac{12 x^{2}}{12} = \frac{0}{12}$

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{0}{12}$

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Divida $0$ por $12$ .

$x^{2} = 0$

Calcule a raiz quadrada dos dois lados da equação para eliminar o expoente do lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

Simplifique $\pm \sqrt{0}$ .

Toque para ver mais passagens...

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 0$

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$x = 0$

Step 3

Encontre os pontos em que a segunda derivada é $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Substitua $0$ em $f (x) = x^{4}$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = {(0)}^{4}$

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = 0$

A resposta final é $0$ .

$0$

O ponto encontrado ao substituir $0$ em $f (x) = x^{4}$ é $(0, 0)$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(0, 0)$

Step 4

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos em torno dos pontos que poderiam ser pontos de inflexão.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Step 5

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, 0)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Substitua a variável $x$ por $- 0.1$ na expressão.

$f'' (- 0.1) = 12 {(- 0.1)}^{2}$

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Eleve $- 0.1$ à potência de $2$ .

$f'' (- 0.1) = 12 \cdot 0.01$

Multiplique $12$ por $0.01$ .

$f'' (- 0.1) = 0.12$

A resposta final é $0.12$ .

$0.12$

Em $- 0.1$ , a segunda derivada é $0.12$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(- \infty, 0)$ .

Acréscimo em $(- \infty, 0)$ , pois $f'' (x) > 0$

Step 6

Substitua um valor do intervalo $(0, \infty)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Substitua a variável $x$ por $0.1$ na expressão.

$f'' (0.1) = 12 {(0.1)}^{2}$

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Eleve $0.1$ à potência de $2$ .

$f'' (0.1) = 12 \cdot 0.01$

Multiplique $12$ por $0.01$ .

$f'' (0.1) = 0.12$

A resposta final é $0.12$ .

$0.12$

Em $0.1$ , a segunda derivada é $0.12$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(0, \infty)$ .

Acréscimo em $(0, \infty)$ , pois $f'' (x) > 0$

Step 7

O ponto de inflexão é um ponto em uma curva em que a concavidade muda do sinal de adição para o de subtração ou vice-versa. No gráfico, não há pontos que satisfaçam esses requisitos.

Nenhum ponto de inflexão