Cálculo Exemplos

$\sqrt{x - 1}$

Step 1

Alterne as variáveis.

$x = \sqrt{y - 1}$

Step 2

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Reescreva a equação como $\sqrt{y - 1} = x$ .

$\sqrt{y - 1} = x$

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${\sqrt{y - 1}}^{2} = x^{2}$

Simplifique cada lado da equação.

Toque para ver mais passagens...

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{y - 1}$ como ${(y - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(y - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Simplifique ${({(y - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Multiplique os expoentes em ${({(y - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Cancele o fator comum.

${(y - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Reescreva a expressão.

${(y - 1)}^{1} = x^{2}$

Simplifique.

$y - 1 = x^{2}$

Some $1$ aos dois lados da equação.

$y = x^{2} + 1$

Step 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = x^{2} + 1$

Step 4

Verifique se $f^{- 1} (x) = x^{2} + 1$ é o inverso de $f (x) = \sqrt{x - 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Avalie $f^{- 1} (\sqrt{x - 1})$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x - 1}) = {(\sqrt{x - 1})}^{2} + 1$

Reescreva ${\sqrt{x - 1}}^{2}$ como $x - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x - 1}$ como ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x - 1}) = {({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + 1$

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x - 1}) = {(x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 1$

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x - 1}) = {(x - 1)}^{\frac{2}{2}} + 1$

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (\sqrt{x - 1}) = {(x - 1)}^{\frac{2}{2}} + 1$

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} (\sqrt{x - 1}) = (x - 1) + 1$

Simplifique.

$f^{- 1} (\sqrt{x - 1}) = x - 1 + 1$

Combine os termos opostos em $x - 1 + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Some $- 1$ e $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x - 1}) = x + 0$

Some $x$ e $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x - 1}) = x$

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Avalie $f (x^{2} + 1)$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (x^{2} + 1) = \sqrt{(x^{2} + 1) - 1}$

Subtraia $1$ de $1$ .

$f (x^{2} + 1) = \sqrt{x^{2} + 0}$

Some $x^{2}$ e $0$ .

$f (x^{2} + 1) = \sqrt{x^{2}}$

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$f (x^{2} + 1) = x$

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = x^{2} + 1$ é o inverso de $f (x) = \sqrt{x - 1}$ .

$f^{- 1} (x) = x^{2} + 1$