Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{3} - 3 x - 2$

Step 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} - 3 x - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 3 x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 3 x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Avalie $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 2)$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 2)$

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 3 + \frac{d}{d x} (- 2)$

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 3 + 0$

Some $3 x^{2} - 3$ e $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 3$

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{2} - 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{2}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Multiplique $2$ por $3$ .

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (- 3)$

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 6 x + 0$

Some $6 x$ e $0$ .

$f'' (x) = 6 x$

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $6 x$ .

$6 x$

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $6 x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$6 x = 0$

Divida cada termo em $6 x = 0$ por $6$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Divida cada termo em $6 x = 0$ por $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{0}{6}$

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Cancele o fator comum de $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Cancele o fator comum.

$\frac{6 x}{6} = \frac{0}{6}$

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{6}$

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Divida $0$ por $6$ .

$x = 0$

Step 2

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Step 3

Crie intervalos em torno dos valores $x$ , em que a segunda derivada é zero ou indefinida.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Step 4

Substitua qualquer número do intervalo $(- \infty, 0)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Substitua a variável $x$ por $- 2$ na expressão.

$f'' (- 2) = 6 (- 2)$

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Multiplique $6$ por $- 2$ .

$f'' (- 2) = - 12$

A resposta final é $- 12$ .

$- 12$

O gráfico tem concavidade para baixo no intervalo $(- \infty, 0)$ porque $f'' (- 2)$ é negativo.

Concavidade para baixo em $(- \infty, 0)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Step 5

Substitua qualquer número do intervalo $(0, \infty)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f'' (2) = 6 (2)$

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Multiplique $6$ por $2$ .

$f'' (2) = 12$

A resposta final é $12$ .

$12$

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $(0, \infty)$ porque $f'' (2)$ é positivo.

Concavidade para cima em $(0, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Step 6

O gráfico tem concavidade para baixo quando a segunda derivada é negativa e concavidade para cima quando a segunda derivada é positiva.

Concavidade para baixo em $(- \infty, 0)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Concavidade para cima em $(0, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Step 7