Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)}{\ln (x)}$

Step 1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 1} x - 1}{lim_{x \to 1} \ln (x)}$

Avalie o limite do numerador.

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Avalie o limite.

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Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} \ln (x)}$

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} \ln (x)}$

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} \ln (x)}$

Simplifique a resposta.

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Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 1} \ln (x)}$

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} \ln (x)}$

Avalie o limite do denominador.

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Mova o limite para dentro do logaritmo.

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 1} x)}$

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$\frac{0}{\ln (1)}$

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$\frac{0}{0}$

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Step 2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)}{\ln (x)} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x - 1]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Step 3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x - 1]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1 + 0}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Some $1$ e $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1}{\frac{1}{x}}$

Step 4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$lim_{x \to 1} 1 x$

Step 5

Multiplique $x$ por $1$ .

$lim_{x \to 1} x$

Step 6

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$1$