Cálculo Exemplos

$f (x, y) = \ln (x - y)$

Step 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x - y$ .

Toque para ver mais passagens...

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x - y$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (\ln (u)) \frac{d}{d x} (x - y)$

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$f' (x) = \frac{1}{u} \cdot \frac{d}{d x} (x - y)$

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - y$ .

$f' (x) = \frac{1}{x - y} \cdot \frac{d}{d x} (x - y)$

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$f' (x) = \frac{1}{x - y} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- y))$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{1}{x - y} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (- y))$

Como $- y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- y$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{x - y} \cdot (1 + 0)$

Simplifique a expressão.

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Some $1$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{x - y} \cdot 1$

Multiplique $\frac{1}{x - y}$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{x - y}$

Step 2

Encontre a segunda derivada.

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Reescreva $\frac{1}{x - y}$ como ${(x - y)}^{- 1}$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} ({(x - y)}^{- 1})$

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x - y$ .

Toque para ver mais passagens...

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x - y$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x - y)$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$f'' (x) = - u^{- 2} \frac{d}{d x} (x - y)$

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - y$ .

$f'' (x) = - {(x - y)}^{- 2} \frac{d}{d x} (x - y)$

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$f'' (x) = - {(x - y)}^{- 2} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- y))$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = - {(x - y)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d x} (- y))$

Como $- y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- y$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = - {(x - y)}^{- 2} (1 + 0)$

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Some $1$ e $0$ .

$f'' (x) = - {(x - y)}^{- 2} \cdot 1$

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f'' (x) = - {(x - y)}^{- 2}$

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{{(x - y)}^{2}}$