Cálculo Exemplos

$f (x) = \arctan (x)$

Step 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

A derivada de $\arctan (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{1 + x^{2}}$

Reordene os termos.

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} + 1}$

Step 2

Encontre a segunda derivada.

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Reescreva $\frac{1}{x^{2} + 1}$ como ${(x^{2} + 1)}^{- 1}$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 1)}^{- 1})$

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{2} + 1$ .

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Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} + 1$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$f'' (x) = - u^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)$

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + 1$ .

$f'' (x) = - {(x^{2} + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)$

Diferencie.

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De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = - {(x^{2} + 1)}^{- 2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1))$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = - {(x^{2} + 1)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} (1))$

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = - {(x^{2} + 1)}^{- 2} (2 x + 0)$

Simplifique a expressão.

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Some $2 x$ e $0$ .

$f'' (x) = - {(x^{2} + 1)}^{- 2} (2 x)$

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - 2 {(x^{2} + 1)}^{- 2} x$

Simplifique.

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Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot x$

Combine os termos.

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Combine $- 2$ e $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot x$

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = - \frac{2}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot x$

Combine $x$ e $\frac{2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{x \cdot 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Step 3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- \frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$- \frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$