Cálculo Exemplos

$\sin (\frac{x}{2})$

Step 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Encontre a primeira derivada.

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Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = \frac{x}{2}$ .

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Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{x}{2}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2})$

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$f' (x) = \cos (u) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2})$

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{x}{2}$ .

$f' (x) = \cos (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2})$

Diferencie.

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Como $\frac{1}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{x}{2}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \cos (\frac{x}{2}) (\frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x))$

Combine $\frac{1}{2}$ e $\cos (\frac{x}{2})$ .

$f' (x) = \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x)$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} \cdot 1$

Multiplique $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$ .

$\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$

Step 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} = 0$ .

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Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} = 0$

Defina o numerador como igual a zero.

$\cos (\frac{x}{2}) = 0$

Resolva a equação para $x$ .

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Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$\frac{x}{2} = \arccos (0)$

Simplifique o lado direito.

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O valor exato de $\arccos (0)$ é $\frac{π}{2}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π}{2}$

Como a expressão em cada lado da equação tem o mesmo denominador, os numeradores devem ser iguais.

$x = π$

A função do cosseno é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$\frac{x}{2} = 2 π - \frac{π}{2}$

Resolva $x$ .

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Multiplique os dois lados da equação por $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 (2 π - \frac{π}{2})$

Simplifique os dois lados da equação.

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Simplifique o lado esquerdo.

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Cancele o fator comum de $2$ .

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Cancele o fator comum.

$2 \frac{x}{2} = 2 (2 π - \frac{π}{2})$

Reescreva a expressão.

$x = 2 (2 π - \frac{π}{2})$

Simplifique o lado direito.

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Simplifique $2 (2 π - \frac{π}{2})$ .

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Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 (2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2})$

Combine $2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 (\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2})$

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = 2 \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Cancele o fator comum de $2$ .

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Cancele o fator comum.

$x = 2 \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Reescreva a expressão.

$x = 2 π \cdot 2 - π$

Multiplique $2$ por $2$ .

$x = 4 π - π$

Subtraia $π$ de $4 π$ .

$x = 3 π$

Encontre o período de $\cos (\frac{x}{2})$ .

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O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Substitua $b$ por $\frac{1}{2}$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

$\frac{1}{2}$ é aproximadamente $0.5$ , que é positivo, então remova o valor absoluto

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$2 π \cdot 2$

Multiplique $2$ por $2$ .

$4 π$

O período da função $\cos (\frac{x}{2})$ é $4 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $4 π$ radianos nas duas direções.

$x = π + 4 π n, 3 π + 4 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Consolide as respostas.

$x = π + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Step 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Step 4

Avalie $\sin (\frac{x}{2})$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Avalie em $x = π$ .

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Substitua $π$ por $x$ .

$\sin (\frac{π}{2})$

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$1$

Avalie em $x = 3 π$ .

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Substitua $3 π$ por $x$ .

$\sin (\frac{3 π}{2})$

Simplifique.

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Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o seno é negativo no quarto quadrante.

$- \sin (\frac{π}{2})$

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$- 1 \cdot 1$

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Liste todos os pontos.

$(π + 4 π n, 1), (3 π + 4 π n, - 1)$ , para qualquer número inteiro $n$

Step 5