Cálculo Exemplos

$1 - 2 \sin (x)$

Step 1

Escreva $1 - 2 \sin (x)$ como uma função.

$f (x) = 1 - 2 \sin (x)$

Step 2

Encontre a primeira derivada.

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Encontre a primeira derivada.

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Diferencie.

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De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - 2 \sin (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x))$

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x))$

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ .

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Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 \sin (x)$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f' (x) = 0 - 2 \frac{d}{d x} \sin (x)$

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$f' (x) = 0 - 2 \cos (x)$

Subtraia $2 \cos (x)$ de $0$ .

$f' (x) = - 2 \cos (x)$

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- 2 \cos (x)$ .

$- 2 \cos (x)$

Step 3

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- 2 \cos (x) = 0$ .

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Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- 2 \cos (x) = 0$

Divida cada termo em $- 2 \cos (x) = 0$ por $- 2$ e simplifique.

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Divida cada termo em $- 2 \cos (x) = 0$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 \cos (x)}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

Simplifique o lado esquerdo.

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Cancele o fator comum de $- 2$ .

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Cancele o fator comum.

$\frac{- 2 \cos (x)}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

Divida $\cos (x)$ por $1$ .

$\cos (x) = \frac{0}{- 2}$

Simplifique o lado direito.

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Divida $0$ por $- 2$ .

$\cos (x) = 0$

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$x = \arccos (0)$

Simplifique o lado direito.

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O valor exato de $\arccos (0)$ é $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

A função do cosseno é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Simplifique $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Combine frações.

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Combine $2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Simplifique o numerador.

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Multiplique $2$ por $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Subtraia $π$ de $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Encontre o período de $\cos (x)$ .

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O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

O período da função $\cos (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Consolide as respostas.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Step 4

Os valores, que tornam a derivada igual a $0$ , são $\frac{π}{2} + π n$ .

$\frac{π}{2} + π n$

Step 5

Depois de encontrar o ponto que torna a derivada $f' (x) = - 2 \cos (x)$ igual a $0$ ou indefinida, o intervalo para verificar onde $f (x) = 1 - 2 \sin (x)$ está aumentando e onde está diminuindo é $(- \infty, \frac{π}{2} + π n) \cup (\frac{π}{2} + π n, \infty)$ .

$(- \infty, \frac{π}{2} + π n) \cup (\frac{π}{2} + π n, \infty)$

Step 6

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, \frac{π}{2} + π n)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Substitua a variável $x$ por $\frac{π}{2} + π n - 1$ na expressão.

$f' (\frac{π}{2} + π n - 1) = - 2 \cos (\frac{π}{2} + π n - 1)$

A resposta final é $- 2 \cos (\frac{π}{2} + π n - 1)$ .

$- 2 \cos (\frac{π}{2} + π n - 1)$

Simplifique.

$- 2 \cos (\frac{π}{2} + π n - 1)$

Em $x = \frac{π}{2} + π n - 1$ , a derivada é $- 2 \cos (\frac{π}{2} + π n - 1)$ . Por ser negativa, a função diminui em $(- \infty, \frac{π}{2} + π n)$ .

Decréscimo em $(- \infty, \frac{π}{2} + π n)$ , pois $f' (x) < 0$

Step 7

Substitua um valor do intervalo $(\frac{π}{2} + π n, \infty)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Substitua a variável $x$ por $\frac{π}{2} + π n + 1$ na expressão.

$f' (\frac{π}{2} + π n + 1) = - 2 \cos (\frac{π}{2} + π n + 1)$

A resposta final é $- 2 \cos (\frac{π}{2} + π n + 1)$ .

$- 2 \cos (\frac{π}{2} + π n + 1)$

Simplifique.

$- 2 \cos (\frac{π}{2} + π n + 1)$

Em $x = \frac{π}{2} + π n + 1$ , a derivada é $- 2 \cos (\frac{π}{2} + π n + 1)$ . Por ser negativa, a função diminui em $(\frac{π}{2} + π n, \infty)$ .

Decréscimo em $(\frac{π}{2} + π n, \infty)$ , pois $f' (x) < 0$

Step 8

Liste os intervalos em que a função é crescente e decrescente.

Decréscimo em: $(- \infty, \frac{π}{2} + π n), (\frac{π}{2} + π n, \infty)$

Step 9