Cálculo Exemplos

$\frac{1}{x \sqrt{\ln (x)}}$

Step 1

Escreva $\frac{1}{x \sqrt{\ln (x)}}$ como uma função.

$f (x) = \frac{1}{x \sqrt{\ln (x)}}$

Step 2

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Step 3

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{1}{x \sqrt{\ln (x)}} d x$

Step 4

Deixe $u = \ln (x)$ . Depois, $d u = \frac{1}{x} d x$ , então, $x d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Deixe $u = \ln (x)$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Diferencie $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Step 5

Aplique regras básicas de expoentes.

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Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Mova $u^{\frac{1}{2}}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Multiplique os expoentes em ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Step 6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{- \frac{1}{2}}$ com relação a $u$ é $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$2 u^{\frac{1}{2}} + C$

Step 7

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\ln (x)$ .

$2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} + C$

Step 8

A resposta é a primitiva da função $f (x) = \frac{1}{x \sqrt{\ln (x)}}$ .

$F (x) =$ $2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} + C$