Cálculo Exemplos

$lim_{t \to 0} \frac{\tan (8 t)}{\sin (2 t)}$

Step 1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{t \to 0} \tan (8 t)}{lim_{t \to 0} \sin (2 t)}$

Avalie o limite do numerador.

Toque para ver mais passagens...

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois a tangente é contínua.

$\frac{\tan (lim_{t \to 0} 8 t)}{lim_{t \to 0} \sin (2 t)}$

Mova o termo $8$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $t$ .

$\frac{\tan (8 lim_{t \to 0} t)}{lim_{t \to 0} \sin (2 t)}$

Avalie o limite de $t$ substituindo $0$ por $t$ .

$\frac{\tan (8 \cdot 0)}{lim_{t \to 0} \sin (2 t)}$

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Multiplique $8$ por $0$ .

$\frac{\tan (0)}{lim_{t \to 0} \sin (2 t)}$

O valor exato de $\tan (0)$ é $0$ .

$\frac{0}{lim_{t \to 0} \sin (2 t)}$

Avalie o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{0}{\sin (lim_{t \to 0} 2 t)}$

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $t$ .

$\frac{0}{\sin (2 lim_{t \to 0} t)}$

Avalie o limite de $t$ substituindo $0$ por $t$ .

$\frac{0}{\sin (2 \cdot 0)}$

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Multiplique $2$ por $0$ .

$\frac{0}{\sin (0)}$

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{0}{0}$

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Step 2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{t \to 0} \frac{\tan (8 t)}{\sin (2 t)} = lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [\tan (8 t)]}{\frac{d}{d t} [\sin (2 t)]}$

Step 3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [\tan (8 t)]}{\frac{d}{d t} [\sin (2 t)]}$

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = \tan (t)$ e $g (t) = 8 t$ .

Toque para ver mais passagens...

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $8 t$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d t} [8 t]}{\frac{d}{d t} [\sin (2 t)]}$

A derivada de $\tan (u)$ em relação a $u$ é $\sec^{2} (u)$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\sec^{2} (u) \frac{d}{d t} [8 t]}{\frac{d}{d t} [\sin (2 t)]}$

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $8 t$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\sec^{2} (8 t) \frac{d}{d t} [8 t]}{\frac{d}{d t} [\sin (2 t)]}$

Como $8$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $8 t$ em relação a $t$ é $8 \frac{d}{d t} [t]$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\sec^{2} (8 t) (8 \frac{d}{d t} [t])}{\frac{d}{d t} [\sin (2 t)]}$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\sec^{2} (8 t) (8 \cdot 1)}{\frac{d}{d t} [\sin (2 t)]}$

Multiplique $8$ por $1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\sec^{2} (8 t) \cdot 8}{\frac{d}{d t} [\sin (2 t)]}$

Mova $8$ para a esquerda de $\sec^{2} (8 t)$ .

$lim_{t \to 0} \frac{8 \cdot \sec^{2} (8 t)}{\frac{d}{d t} [\sin (2 t)]}$

Multiplique $8$ por $\sec^{2} (8 t)$ .

$lim_{t \to 0} \frac{8 \sec^{2} (8 t)}{\frac{d}{d t} [\sin (2 t)]}$

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = \sin (t)$ e $g (t) = 2 t$ .

Toque para ver mais passagens...

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 t$ .

$lim_{t \to 0} \frac{8 \sec^{2} (8 t)}{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d t} [2 t]}$

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$lim_{t \to 0} \frac{8 \sec^{2} (8 t)}{\cos (u) \frac{d}{d t} [2 t]}$

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 t$ .

$lim_{t \to 0} \frac{8 \sec^{2} (8 t)}{\cos (2 t) \frac{d}{d t} [2 t]}$

Como $2$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $2 t$ em relação a $t$ é $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$lim_{t \to 0} \frac{8 \sec^{2} (8 t)}{\cos (2 t) (2 \frac{d}{d t} [t])}$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{8 \sec^{2} (8 t)}{\cos (2 t) (2 \cdot 1)}$

Multiplique $2$ por $1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{8 \sec^{2} (8 t)}{\cos (2 t) \cdot 2}$

Mova $2$ para a esquerda de $\cos (2 t)$ .

$lim_{t \to 0} \frac{8 \sec^{2} (8 t)}{2 \cdot \cos (2 t)}$

Multiplique $2$ por $\cos (2 t)$ .

$lim_{t \to 0} \frac{8 \sec^{2} (8 t)}{2 \cos (2 t)}$

Step 4

Cancele o fator comum de $8$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Fatore $2$ de $8 \sec^{2} (8 t)$ .

$lim_{t \to 0} \frac{2 (4 \sec^{2} (8 t))}{2 \cos (2 t)}$

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Fatore $2$ de $2 \cos (2 t)$ .

$lim_{t \to 0} \frac{2 (4 \sec^{2} (8 t))}{2 (\cos (2 t))}$

Cancele o fator comum.

$lim_{t \to 0} \frac{2 (4 \sec^{2} (8 t))}{2 \cos (2 t)}$

Reescreva a expressão.

$lim_{t \to 0} \frac{4 \sec^{2} (8 t)}{\cos (2 t)}$

Step 5

Mova o termo $4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $t$ .

$4 lim_{t \to 0} \frac{\sec^{2} (8 t)}{\cos (2 t)}$

Step 6

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $t$ se aproxima de $0$ .

$4 \frac{lim_{t \to 0} \sec^{2} (8 t)}{lim_{t \to 0} \cos (2 t)}$

Step 7

Mova o expoente $2$ de $\sec^{2} (8 t)$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$4 \frac{{(lim_{t \to 0} \sec (8 t))}^{2}}{lim_{t \to 0} \cos (2 t)}$

Step 8

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois a secante é contínua.

$4 \frac{\sec^{2} (lim_{t \to 0} 8 t)}{lim_{t \to 0} \cos (2 t)}$

Step 9

Mova o termo $8$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $t$ .

$4 \frac{\sec^{2} (8 lim_{t \to 0} t)}{lim_{t \to 0} \cos (2 t)}$

Step 10

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$4 \frac{\sec^{2} (8 lim_{t \to 0} t)}{\cos (lim_{t \to 0} 2 t)}$

Step 11

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $t$ .

$4 \frac{\sec^{2} (8 lim_{t \to 0} t)}{\cos (2 lim_{t \to 0} t)}$

Step 12

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $t$ .

Toque para ver mais passagens...

Avalie o limite de $t$ substituindo $0$ por $t$ .

$4 \frac{\sec^{2} (8 \cdot 0)}{\cos (2 lim_{t \to 0} t)}$

Avalie o limite de $t$ substituindo $0$ por $t$ .

$4 \frac{\sec^{2} (8 \cdot 0)}{\cos (2 \cdot 0)}$

Step 13

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Multiplique $8$ por $0$ .

$4 \frac{\sec^{2} (0)}{\cos (2 \cdot 0)}$

O valor exato de $\sec (0)$ é $1$ .

$4 \frac{1^{2}}{\cos (2 \cdot 0)}$

Um elevado a qualquer potência é um.

$4 \frac{1}{\cos (2 \cdot 0)}$

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Multiplique $2$ por $0$ .

$4 \frac{1}{\cos (0)}$

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$4 (\frac{1}{1})$

Cancele o fator comum de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Cancele o fator comum.

$4 (\frac{1}{1})$

Reescreva a expressão.

$4 \cdot 1$

Multiplique $4$ por $1$ .

$4$