Cálculo Exemplos

$\sin^{2} (2 t)$

Step 1

Deixe $u_{1} = 2 t$ . Depois, $d u_{1} = 2 d t$ , então, $\frac{1}{2} d u_{1} = d t$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Deixe $u_{1} = 2 t$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d t}$ .

Toque para ver mais passagens...

Diferencie $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Como $2$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $2 t$ em relação a $t$ é $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int \sin^{2} (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Step 2

Combine $\sin^{2} (u_{1})$ e $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{\sin^{2} (u_{1})}{2} d u_{1}$

Step 3

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \int \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Step 4

Use a fórmula do arco metade para reescrever $\sin^{2} (u_{1})$ como $\frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1}$

Step 5

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Step 6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{1}{4} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Step 7

Divida a integral única em várias integrais.

$\frac{1}{4} (\int d u_{1} + \int - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Step 8

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{4} (u_{1} + C + \int - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Step 9

Como $- 1$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{1}{4} (u_{1} + C - \int \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Step 10

Deixe $u_{2} = 2 u_{1}$ . Depois, $d u_{2} = 2 d u_{1}$ , então, $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Deixe $u_{2} = 2 u_{1}$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Diferencie $2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

Como $2$ é constante em relação a $u_{1}$ , a derivada de $2 u_{1}$ em relação a $u_{1}$ é $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{1}{4} (u_{1} + C - \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

Step 11

Combine $\cos (u_{2})$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} (u_{1} + C - \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Step 12

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{4} (u_{1} + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2}))$

Step 13

A integral de $\cos (u_{2})$ com relação a $u_{2}$ é $\sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{4} (u_{1} + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C))$

Step 14

Simplifique.

$\frac{1}{4} (u_{1} - \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Step 15

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

Toque para ver mais passagens...

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $2 t$ .

$\frac{1}{4} (2 t - \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $2 u_{1}$ .

$\frac{1}{4} (2 t - \frac{1}{2} \sin (2 u_{1})) + C$

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $2 t$ .

$\frac{1}{4} (2 t - \frac{1}{2} \sin (2 (2 t))) + C$

Step 16

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{1}{4} (2 t - \frac{1}{2} \sin (4 t)) + C$

Combine $\sin (4 t)$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} (2 t - \frac{\sin (4 t)}{2}) + C$

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{4} (2 t) + \frac{1}{4} (- \frac{\sin (4 t)}{2}) + C$

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{1}{2 (2)} (2 t) + \frac{1}{4} (- \frac{\sin (4 t)}{2}) + C$

Fatore $2$ de $2 t$ .

$\frac{1}{2 (2)} (2 (t)) + \frac{1}{4} (- \frac{\sin (4 t)}{2}) + C$

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{2 \cdot 2} (2 t) + \frac{1}{4} (- \frac{\sin (4 t)}{2}) + C$

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2} t + \frac{1}{4} (- \frac{\sin (4 t)}{2}) + C$

Combine $\frac{1}{2}$ e $t$ .

$\frac{t}{2} + \frac{1}{4} (- \frac{\sin (4 t)}{2}) + C$

Multiplique $\frac{1}{4} (- \frac{\sin (4 t)}{2})$ .

Toque para ver mais passagens...

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $\frac{\sin (4 t)}{2}$ .

$\frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{4 \cdot 2} + C$

Multiplique $4$ por $2$ .

$\frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{8} + C$

Step 17

Reordene os termos.

$\frac{1}{2} t - \frac{1}{8} \sin (4 t) + C$