Cálculo Exemplos

$\sum_{0}^{8} 8 {(- \frac{2}{3})}^{i}$

Step 1

A soma de uma série geométrica finita pode ser encontrada pela fórmula $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ , em que $a$ é o primeiro termo e $r$ é a razão entre os termos sucessivos.

Step 2

Encontre a razão dos termos sucessivos substituindo a fórmula $r = \frac{a_{i + 1}}{a_{i}}$ e simplificando.

Toque para ver mais passagens...

Substitua $a_{i}$ e $a_{i + 1}$ na fórmula por $r$ .

$r = \frac{8 {(- \frac{2}{3})}^{i + 1}}{8 {(- \frac{2}{3})}^{i}}$

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Cancele o fator comum de $8$ .

Toque para ver mais passagens...

Cancele o fator comum.

$r = \frac{8 {(- \frac{2}{3})}^{i + 1}}{8 {(- \frac{2}{3})}^{i}}$

Reescreva a expressão.

$r = \frac{{(- \frac{2}{3})}^{i + 1}}{{(- \frac{2}{3})}^{i}}$

Cancele o fator comum de ${(- \frac{2}{3})}^{i + 1}$ e ${(- \frac{2}{3})}^{i}$ .

Toque para ver mais passagens...

Fatore ${(- \frac{2}{3})}^{i}$ de ${(- \frac{2}{3})}^{i + 1}$ .

$r = \frac{{(- \frac{2}{3})}^{i} (- \frac{2}{3})}{{(- \frac{2}{3})}^{i}}$

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Multiplique por $1$ .

$r = \frac{{(- \frac{2}{3})}^{i} (- \frac{2}{3})}{{(- \frac{2}{3})}^{i} \cdot 1}$

Cancele o fator comum.

$r = \frac{{(- \frac{2}{3})}^{i} (- \frac{2}{3})}{{(- \frac{2}{3})}^{i} \cdot 1}$

Reescreva a expressão.

$r = \frac{- \frac{2}{3}}{1}$

Divida $- \frac{2}{3}$ por $1$ .

$r = - \frac{2}{3}$

Step 3

Encontre o primeiro termo da série, substituindo o limite inferior e simplificando.

Toque para ver mais passagens...

Substitua $0$ por $i$ em $8 {(- \frac{2}{3})}^{i}$ .

$a = 8 {(- \frac{2}{3})}^{0}$

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Aplique a regra do produto a $- \frac{2}{3}$ .

$a = 8 ({(- 1)}^{0} {(\frac{2}{3})}^{0})$

Aplique a regra do produto a $\frac{2}{3}$ .

$a = 8 ({(- 1)}^{0} \frac{2^{0}}{3^{0}})$

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$a = 8 (1 \frac{2^{0}}{3^{0}})$

Multiplique $\frac{2^{0}}{3^{0}}$ por $1$ .

$a = 8 \frac{2^{0}}{3^{0}}$

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$a = 8 \frac{1}{3^{0}}$

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$a = 8 (\frac{1}{1})$

Cancele o fator comum de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Cancele o fator comum.

$a = 8 (\frac{1}{1})$

Reescreva a expressão.

$a = 8 \cdot 1$

Multiplique $8$ por $1$ .

$a = 8$

Step 4

Substitua os valores da razão, o primeiro termo e o número de termos na fórmula da soma.

$8 \frac{1 - {(- \frac{2}{3})}^{9}}{1 - - \frac{2}{3}}$

Step 5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Aplique a regra do produto a $- \frac{2}{3}$ .

$8 \frac{1 - ({(- 1)}^{9} {(\frac{2}{3})}^{9})}{1 - - \frac{2}{3}}$

Aplique a regra do produto a $\frac{2}{3}$ .

$8 \frac{1 - ({(- 1)}^{9} \frac{2^{9}}{3^{9}})}{1 - - \frac{2}{3}}$

Multiplique $- 1$ por ${(- 1)}^{9}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Mova ${(- 1)}^{9}$ .

$8 \frac{1 + {(- 1)}^{9} \cdot - 1 \frac{2^{9}}{3^{9}}}{1 - - \frac{2}{3}}$

Multiplique ${(- 1)}^{9}$ por $- 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Eleve $- 1$ à potência de $1$ .

$8 \frac{1 + {(- 1)}^{9} \cdot {(- 1)}^{1} \frac{2^{9}}{3^{9}}}{1 - - \frac{2}{3}}$

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$8 \frac{1 + {(- 1)}^{9 + 1} \frac{2^{9}}{3^{9}}}{1 - - \frac{2}{3}}$

Some $9$ e $1$ .

$8 \frac{1 + {(- 1)}^{10} \frac{2^{9}}{3^{9}}}{1 - - \frac{2}{3}}$

Eleve $- 1$ à potência de $10$ .

$8 \frac{1 + 1 \frac{2^{9}}{3^{9}}}{1 - - \frac{2}{3}}$

Multiplique $\frac{2^{9}}{3^{9}}$ por $1$ .

$8 \frac{1 + \frac{2^{9}}{3^{9}}}{1 - - \frac{2}{3}}$

Eleve $2$ à potência de $9$ .

$8 \frac{1 + \frac{512}{3^{9}}}{1 - - \frac{2}{3}}$

Eleve $3$ à potência de $9$ .

$8 \frac{1 + \frac{512}{19683}}{1 - - \frac{2}{3}}$

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$8 \frac{\frac{19683}{19683} + \frac{512}{19683}}{1 - - \frac{2}{3}}$

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$8 \frac{\frac{19683 + 512}{19683}}{1 - - \frac{2}{3}}$

Some $19683$ e $512$ .

$8 \frac{\frac{20195}{19683}}{1 - - \frac{2}{3}}$

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Multiplique $- - \frac{2}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$8 \frac{\frac{20195}{19683}}{1 + 1 (\frac{2}{3})}$

Multiplique $\frac{2}{3}$ por $1$ .

$8 \frac{\frac{20195}{19683}}{1 + \frac{2}{3}}$

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$8 \frac{\frac{20195}{19683}}{\frac{3}{3} + \frac{2}{3}}$

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$8 \frac{\frac{20195}{19683}}{\frac{3 + 2}{3}}$

Some $3$ e $2$ .

$8 \frac{\frac{20195}{19683}}{\frac{5}{3}}$

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$8 (\frac{20195}{19683} \cdot \frac{3}{5})$

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Fatore $5$ de $20195$ .

$8 (\frac{5 (4039)}{19683} \cdot \frac{3}{5})$

Cancele o fator comum.

$8 (\frac{5 \cdot 4039}{19683} \cdot \frac{3}{5})$

Reescreva a expressão.

$8 (\frac{4039}{19683} \cdot 3)$

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Fatore $3$ de $19683$ .

$8 (\frac{4039}{3 (6561)} \cdot 3)$

Cancele o fator comum.

$8 (\frac{4039}{3 \cdot 6561} \cdot 3)$

Reescreva a expressão.

$8 (\frac{4039}{6561})$

Multiplique $8 (\frac{4039}{6561})$ .

Toque para ver mais passagens...

Combine $8$ e $\frac{4039}{6561}$ .

$\frac{8 \cdot 4039}{6561}$

Multiplique $8$ por $4039$ .

$\frac{32312}{6561}$

Step 6

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{32312}{6561}$

Forma decimal:

$4.92485901 \dots$

Forma de número misto:

$4 \frac{6068}{6561}$