Cálculo Exemplos

$f (x) = 6 x - 3 x \ln (x)$

Step 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

De acordo com a regra da soma, a derivada de $6 x - 3 x \ln (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$

Avalie $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$

Multiplique $6$ por $1$ .

$6 + \frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$

Avalie $\frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$ .

Toque para ver mais passagens...

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x \ln (x)$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ .

$6 - 3 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = \ln (x)$ .

$6 - 3 (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$6 - 3 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$6 - 3 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

Combine $x$ e $\frac{1}{x}$ .

$6 - 3 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Cancele o fator comum.

$6 - 3 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

Reescreva a expressão.

$6 - 3 (1 + \ln (x) \cdot 1)$

Multiplique $\ln (x)$ por $1$ .

$6 - 3 (1 + \ln (x))$

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Aplique a propriedade distributiva.

$6 - 3 \cdot 1 - 3 \ln (x)$

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$6 - 3 - 3 \ln (x)$

Subtraia $3$ de $6$ .

$3 - 3 \ln (x)$

Step 2

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 - 3 \ln (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 3 \ln (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3) + \frac{d}{d x} (- 3 \ln (x))$

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- 3 \ln (x))$

Avalie $\frac{d}{d x} [- 3 \ln (x)]$ .

Toque para ver mais passagens...

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 \ln (x)$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$f'' (x) = 0 - 3 \frac{d}{d x} \ln (x)$

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 0 - 3 \frac{1}{x}$

Combine $- 3$ e $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{- 3}{x}$

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = 0 - \frac{3}{x}$

Subtraia $\frac{3}{x}$ de $0$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{x}$

Step 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$3 - 3 \ln (x) = 0$

Step 4

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

De acordo com a regra da soma, a derivada de $6 x - 3 x \ln (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (- 3 x \ln (x))$

Avalie $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 6 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3 x \ln (x))$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 3 x \ln (x))$

Multiplique $6$ por $1$ .

$f' (x) = 6 + \frac{d}{d x} (- 3 x \ln (x))$

Avalie $\frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$ .

Toque para ver mais passagens...

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x \ln (x)$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ .

$f' (x) = 6 - 3 \frac{d}{d x} (x \ln (x))$

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = \ln (x)$ .

$f' (x) = 6 - 3 (x \frac{d}{d x} (\ln (x)) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x))$

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$f' (x) = 6 - 3 (x (\frac{1}{x}) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x))$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = 6 - 3 (x (\frac{1}{x}) + \ln (x) \cdot 1)$

Combine $x$ e $\frac{1}{x}$ .

$f' (x) = 6 - 3 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Cancele o fator comum.

$f' (x) = 6 - 3 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

Reescreva a expressão.

$f' (x) = 6 - 3 (1 + \ln (x) \cdot 1)$

Multiplique $\ln (x)$ por $1$ .

$f' (x) = 6 - 3 (1 + \ln (x))$

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = 6 - 3 \cdot 1 - 3 \ln (x)$

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$f' (x) = 6 - 3 - 3 \ln (x)$

Subtraia $3$ de $6$ .

$f' (x) = 3 - 3 \ln (x)$

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $3 - 3 \ln (x)$ .

$3 - 3 \ln (x)$

Step 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $3 - 3 \ln (x) = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$3 - 3 \ln (x) = 0$

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$- 3 \ln (x) = - 3$

Divida cada termo em $- 3 \ln (x) = - 3$ por $- 3$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Divida cada termo em $- 3 \ln (x) = - 3$ por $- 3$ .

$\frac{- 3 \ln (x)}{- 3} = \frac{- 3}{- 3}$

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Cancele o fator comum de $- 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Cancele o fator comum.

$\frac{- 3 \ln (x)}{- 3} = \frac{- 3}{- 3}$

Divida $\ln (x)$ por $1$ .

$\ln (x) = \frac{- 3}{- 3}$

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Divida $- 3$ por $- 3$ .

$\ln (x) = 1$

Para resolver $x$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (x)} = e^{1}$

Reescreva $\ln (x) = 1$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{1} = x$

Reescreva a equação como $x = e^{1}$ .

$x = e$

Step 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Defina o argumento em $\ln (x)$ como menor do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x \leq 0$

A equação é indefinida quando o denominador é igual a $0$ , o argumento de uma raiz quadrada é menor do que $0$ ou o argumento de um logaritmo é menor do que ou igual a $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Step 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = e$

Step 8

Avalie a segunda derivada em $x = e$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- \frac{3}{e}$

Step 9

$x = e$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = e$ é um máximo local

Step 10

Encontre o valor y quando $x = e$ .

Toque para ver mais passagens...

Substitua a variável $x$ por $e$ na expressão.

$f (e) = 6 (e) - 3 e \ln (e)$

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$f (e) = 6 e - 3 e \cdot 1$

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$f (e) = 6 e - 3 e$

Subtraia $3 e$ de $6 e$ .

$f (e) = 3 e$

A resposta final é $3 e$ .

$y = 3 e$

Step 11

Esses são os extremos locais para $f (x) = 6 x - 3 x \ln (x)$ .

$(e, 3 e)$ é um máximo local

Step 12