Cálculo Exemplos

$\sum_{n = 1}^{5} 2^{n - 2}$

Step 1

A soma de uma série geométrica finita pode ser encontrada pela fórmula $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ , em que $a$ é o primeiro termo e $r$ é a razão entre os termos sucessivos.

Step 2

Encontre a razão dos termos sucessivos substituindo a fórmula $r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ e simplificando.

Toque para ver mais passagens...

Substitua $a_{n}$ e $a_{n + 1}$ na fórmula por $r$ .

$r = \frac{2^{n + 1 - 2}}{2^{n - 2}}$

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Cancele o fator comum de $2^{n + 1 - 2}$ e $2^{n - 2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Fatore $2^{n - 2}$ de $2^{n + 1 - 2}$ .

$r = \frac{2^{n - 2} \cdot 2^{n - 1 - (n - 2)}}{2^{n - 2}}$

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Multiplique por $1$ .

$r = \frac{2^{n - 2} \cdot 2^{n - 1 - (n - 2)}}{2^{n - 2} \cdot 1}$

Cancele o fator comum.

$r = \frac{2^{n - 2} \cdot 2^{n - 1 - (n - 2)}}{2^{n - 2} \cdot 1}$

Reescreva a expressão.

$r = \frac{2^{n - 1 - (n - 2)}}{1}$

Divida $2^{n - 1 - (n - 2)}$ por $1$ .

$r = 2^{n - 1 - (n - 2)}$

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Aplique a propriedade distributiva.

$r = 2^{n - 1 - n - - 2}$

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$r = 2^{n - 1 - n + 2}$

Combine os termos opostos em $n - 1 - n + 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Subtraia $n$ de $n$ .

$r = 2^{0 - 1 + 2}$

Subtraia $1$ de $0$ .

$r = 2^{- 1 + 2}$

Some $- 1$ e $2$ .

$r = 2^{1}$

Avalie o expoente.

$r = 2$

Step 3

Encontre o primeiro termo da série, substituindo o limite inferior e simplificando.

Toque para ver mais passagens...

Substitua $1$ por $n$ em $2^{n - 2}$ .

$a = 2^{1 - 2}$

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Subtraia $2$ de $1$ .

$a = 2^{- 1}$

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$a = \frac{1}{2}$

Step 4

Substitua os valores da razão, o primeiro termo e o número de termos na fórmula da soma.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 - 2^{5}}{1 - 1 \cdot 2}$

Step 5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Eleve $2$ à potência de $5$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 - 1 \cdot 32}{1 - 1 \cdot 2}$

Multiplique $- 1$ por $32$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 - 32}{1 - 1 \cdot 2}$

Subtraia $32$ de $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 31}{1 - 1 \cdot 2}$

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 31}{1 - 2}$

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 31}{- 1}$

Divida $- 31$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 31$

Combine $\frac{1}{2}$ e $31$ .

$\frac{31}{2}$

Step 6

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{31}{2}$

Forma decimal:

$15.5$

Forma de número misto:

$15 \frac{1}{2}$