Cálculo Exemplos

$2 \cos (θ) + \cos^{2} (θ)$

Step 1

Escreva $2 \cos (θ) + \cos^{2} (θ)$ como uma função.

$f (θ) = 2 \cos (θ) + \cos^{2} (θ)$

Step 2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Encontre a primeira derivada.

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De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 \cos (θ) + \cos^{2} (θ)$ com relação a $θ$ é $\frac{d}{d θ} [2 \cos (θ)] + \frac{d}{d θ} [\cos^{2} (θ)]$ .

$f' (θ) = \frac{d}{d θ} (2 \cos (θ)) + \frac{d}{d θ} (\cos^{2} (θ))$

Avalie $\frac{d}{d θ} [2 \cos (θ)]$ .

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Como $2$ é constante em relação a $θ$ , a derivada de $2 \cos (θ)$ em relação a $θ$ é $2 \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$ .

$f' (θ) = 2 \frac{d}{d θ} (\cos (θ)) + \frac{d}{d θ} (\cos^{2} (θ))$

A derivada de $\cos (θ)$ em relação a $θ$ é $- \sin (θ)$ .

$f' (θ) = 2 (- \sin (θ)) + \frac{d}{d θ} (\cos^{2} (θ))$

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f' (θ) = - 2 \sin (θ) + \frac{d}{d θ} (\cos^{2} (θ))$

Avalie $\frac{d}{d θ} [\cos^{2} (θ)]$ .

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Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ é $f' (g (θ)) g' (θ)$ , em que $f (θ) = θ^{2}$ e $g (θ) = \cos (θ)$ .

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Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\cos (θ)$ .

$f' (θ) = - 2 \sin (θ) + \frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d θ} (\cos (θ))$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (θ) = - 2 \sin (θ) + 2 u \frac{d}{d θ} (\cos (θ))$

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\cos (θ)$ .

$f' (θ) = - 2 \sin (θ) + 2 \cos (θ) \frac{d}{d θ} (\cos (θ))$

A derivada de $\cos (θ)$ em relação a $θ$ é $- \sin (θ)$ .

$f' (θ) = - 2 \sin (θ) + 2 \cos (θ) (- \sin (θ))$

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f' (θ) = - 2 \sin (θ) - 2 \cos (θ) \sin (θ)$

Reordene os termos.

$f' (θ) = - 2 \cos (θ) \sin (θ) - 2 \sin (θ)$

Encontre a segunda derivada.

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De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 2 \cos (θ) \sin (θ) - 2 \sin (θ)$ com relação a $θ$ é $\frac{d}{d θ} [- 2 \cos (θ) \sin (θ)] + \frac{d}{d θ} [- 2 \sin (θ)]$ .

$f'' (θ) = \frac{d}{d θ} (- 2 \cos (θ) \sin (θ)) + \frac{d}{d θ} (- 2 \sin (θ))$

Avalie $\frac{d}{d θ} [- 2 \cos (θ) \sin (θ)]$ .

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Como $- 2$ é constante em relação a $θ$ , a derivada de $- 2 \cos (θ) \sin (θ)$ em relação a $θ$ é $- 2 \frac{d}{d θ} [\cos (θ) \sin (θ)]$ .

$f'' (θ) = - 2 \frac{d}{d θ} (\cos (θ) \sin (θ)) + \frac{d}{d θ} (- 2 \sin (θ))$

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d θ} [f (θ) g (θ)]$ é $f (θ) \frac{d}{d θ} [g (θ)] + g (θ) \frac{d}{d θ} [f (θ)]$ , em que $f (θ) = \cos (θ)$ e $g (θ) = \sin (θ)$ .

$f'' (θ) = - 2 (\cos (θ) \frac{d}{d θ} (\sin (θ)) + \sin (θ) \frac{d}{d θ} (\cos (θ))) + \frac{d}{d θ} (- 2 \sin (θ))$

A derivada de $\sin (θ)$ em relação a $θ$ é $\cos (θ)$ .

$f'' (θ) = - 2 (\cos (θ) \cos (θ) + \sin (θ) \frac{d}{d θ} (\cos (θ))) + \frac{d}{d θ} (- 2 \sin (θ))$

A derivada de $\cos (θ)$ em relação a $θ$ é $- \sin (θ)$ .

$f'' (θ) = - 2 (\cos (θ) \cos (θ) + \sin (θ) (- \sin (θ))) + \frac{d}{d θ} (- 2 \sin (θ))$

Eleve $\cos (θ)$ à potência de $1$ .

$f'' (θ) = - 2 (\cos (θ) \cos (θ) + \sin (θ) (- \sin (θ))) + \frac{d}{d θ} (- 2 \sin (θ))$

Eleve $\cos (θ)$ à potência de $1$ .

$f'' (θ) = - 2 (\cos (θ) \cos (θ) + \sin (θ) (- \sin (θ))) + \frac{d}{d θ} (- 2 \sin (θ))$

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (θ) = - 2 ({\cos (θ)}^{1 + 1} + \sin (θ) (- \sin (θ))) + \frac{d}{d θ} (- 2 \sin (θ))$

Some $1$ e $1$ .

$f'' (θ) = - 2 (\cos^{2} (θ) + \sin (θ) (- \sin (θ))) + \frac{d}{d θ} (- 2 \sin (θ))$

Eleve $\sin (θ)$ à potência de $1$ .

$f'' (θ) = - 2 (\cos^{2} (θ) - (\sin (θ) \sin (θ))) + \frac{d}{d θ} (- 2 \sin (θ))$

Eleve $\sin (θ)$ à potência de $1$ .

$f'' (θ) = - 2 (\cos^{2} (θ) - (\sin (θ) \sin (θ))) + \frac{d}{d θ} (- 2 \sin (θ))$

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (θ) = - 2 (\cos^{2} (θ) - {\sin (θ)}^{1 + 1}) + \frac{d}{d θ} (- 2 \sin (θ))$

Some $1$ e $1$ .

$f'' (θ) = - 2 (\cos^{2} (θ) - \sin^{2} (θ)) + \frac{d}{d θ} (- 2 \sin (θ))$

Avalie $\frac{d}{d θ} [- 2 \sin (θ)]$ .

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Como $- 2$ é constante em relação a $θ$ , a derivada de $- 2 \sin (θ)$ em relação a $θ$ é $- 2 \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$ .

$f'' (θ) = - 2 (\cos^{2} (θ) - \sin^{2} (θ)) - 2 \frac{d}{d θ} \sin (θ)$

A derivada de $\sin (θ)$ em relação a $θ$ é $\cos (θ)$ .

$f'' (θ) = - 2 (\cos^{2} (θ) - \sin^{2} (θ)) - 2 \cos (θ)$

Simplifique.

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Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (θ) = - 2 \cos^{2} (θ) - 2 (- \sin^{2} (θ)) - 2 \cos (θ)$

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$f'' (θ) = - 2 \cos^{2} (θ) + 2 \sin^{2} (θ) - 2 \cos (θ)$

A segunda derivada de $f (θ)$ com relação a $θ$ é $- 2 \cos^{2} (θ) + 2 \sin^{2} (θ) - 2 \cos (θ)$ .

$- 2 \cos^{2} (θ) + 2 \sin^{2} (θ) - 2 \cos (θ)$

Step 3

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- 2 \cos^{2} (θ) + 2 \sin^{2} (θ) - 2 \cos (θ) = 0$ .

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Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$- 2 \cos^{2} (θ) + 2 \sin^{2} (θ) - 2 \cos (θ) = 0$

Represente cada lado da equação em um gráfico. A solução é o valor x do ponto de intersecção.

$θ = \frac{π}{3} + \frac{2 π n}{3}$ , para qualquer número inteiro $n$

Step 4

Encontre os pontos em que a segunda derivada é $0$ .

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Substitua $\frac{π}{3}$ em $f (θ) = 2 \cos (θ) + \cos^{2} (θ)$ para encontrar o valor de $y$ .

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Substitua a variável $θ$ por $\frac{π}{3}$ na expressão.

$f (\frac{π}{3}) = 2 \cos (\frac{π}{3}) + \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Simplifique o resultado.

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Simplifique cada termo.

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O valor exato de $\cos (\frac{π}{3})$ é $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{π}{3}) = 2 (\frac{1}{2}) + \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Cancele o fator comum de $2$ .

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Cancele o fator comum.

$f (\frac{π}{3}) = 2 (\frac{1}{2}) + \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Reescreva a expressão.

$f (\frac{π}{3}) = 1 + \cos^{2} (\frac{π}{3})$

O valor exato de $\cos (\frac{π}{3})$ é $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{π}{3}) = 1 + {(\frac{1}{2})}^{2}$

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{π}{3}) = 1 + \frac{1^{2}}{2^{2}}$

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (\frac{π}{3}) = 1 + \frac{1}{2^{2}}$

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f (\frac{π}{3}) = 1 + \frac{1}{4}$

Simplifique a expressão.

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Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{4}{4} + \frac{1}{4}$

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{4 + 1}{4}$

Some $4$ e $1$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{5}{4}$

A resposta final é $\frac{5}{4}$ .

$\frac{5}{4}$

O ponto encontrado ao substituir $\frac{π}{3}$ em $f (θ) = 2 \cos (θ) + \cos^{2} (θ)$ é $(\frac{π}{3}, \frac{5}{4})$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(\frac{π}{3}, \frac{5}{4})$

Step 5

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos em torno dos pontos que poderiam ser pontos de inflexão.

$(- \infty, \frac{π}{3}) \cup (\frac{π}{3}, \infty)$

Step 6

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, \frac{π}{3})$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

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Substitua a variável $θ$ por $0.94719755$ na expressão.

$f'' (0.94719755) = - 2 \cos^{2} (0.94719755) + 2 \sin^{2} (0.94719755) - 2 \cos (0.94719755)$

A resposta final é $- 2 \cos^{2} (0.94719755) + 2 \sin^{2} (0.94719755) - 2 \cos (0.94719755)$ .

$- 2 \cos^{2} (0.94719755) + 2 \sin^{2} (0.94719755) - 2 \cos (0.94719755)$

Em $0.94719755$ , a segunda derivada é $- 0.53195951$ . Por ser negativa, a segunda derivada diminui no intervalo $(- \infty, \frac{π}{3})$ .

Decréscimo em $(- \infty, \frac{π}{3})$ , pois $f'' (θ) < 0$

Step 7

Substitua um valor do intervalo $(\frac{π}{3}, \infty)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

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Substitua a variável $θ$ por $1.14719755$ na expressão.

$f'' (1.14719755) = - 2 \cos^{2} (1.14719755) + 2 \sin^{2} (1.14719755) - 2 \cos (1.14719755)$

A resposta final é $- 2 \cos^{2} (1.14719755) + 2 \sin^{2} (1.14719755) - 2 \cos (1.14719755)$ .

$- 2 \cos^{2} (1.14719755) + 2 \sin^{2} (1.14719755) - 2 \cos (1.14719755)$

Em $1.14719755$ , a segunda derivada é $0.50208433$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(\frac{π}{3}, \infty)$ .

Acréscimo em $(\frac{π}{3}, \infty)$ , pois $f'' (θ) > 0$

Step 8

O ponto de inflexão é um ponto em uma curva em que a concavidade muda do sinal de adição para o de subtração ou vice-versa. Neste caso, o ponto de inflexão é $(\frac{π}{3}, \frac{5}{4})$ .

$(\frac{π}{3}, \frac{5}{4})$

Step 9