Cálculo Exemplos

$\cos^{3} (2 x)$

Step 1

Escreva $\cos^{3} (2 x)$ como uma função.

$f (x) = \cos^{3} (2 x)$

Step 2

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Step 3

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int \cos^{3} (2 x) d x$

Step 4

Deixe $u_{1} = 2 x$ . Depois, $d u_{1} = 2 d x$ , então, $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Deixe $u_{1} = 2 x$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Diferencie $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int \cos^{3} (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Step 5

Combine $\cos^{3} (u_{1})$ e $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{\cos^{3} (u_{1})}{2} d u_{1}$

Step 6

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \int \cos^{3} (u_{1}) d u_{1}$

Step 7

Fatore $\cos^{2} (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} \int \cos^{2} (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

Step 8

Usando a fórmula de Pitágoras, reescreva $\cos^{2} (u_{1})$ como $1 - \sin^{2} (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} \int (1 - \sin^{2} (u_{1})) \cos (u_{1}) d u_{1}$

Step 9

Deixe $u_{2} = \sin (u_{1})$ . Depois, $d u_{2} = \cos (u_{1}) d u_{1}$ , então, $\frac{1}{\cos (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Deixe $u_{2} = \sin (u_{1})$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Diferencie $\sin (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})]$

A derivada de $\sin (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1})$

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \int 1 - {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Step 10

Divida a integral única em várias integrais.

$\frac{1}{2} (\int d u_{2} + \int - {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Step 11

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{2} (u_{2} + C + \int - {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Step 12

Como $- 1$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} (u_{2} + C - \int {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Step 13

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de ${u_{2}}^{2}$ com relação a $u_{2}$ é $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ .

$\frac{1}{2} (u_{2} + C - (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C))$

Step 14

Simplifique.

$\frac{1}{2} (u_{2} - \frac{1}{3} {u_{2}}^{3}) + C$

Step 15

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

Toque para ver mais passagens...

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $\sin (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} (\sin (u_{1}) - \frac{1}{3} \sin^{3} (u_{1})) + C$

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $2 x$ .

$\frac{1}{2} (\sin (2 x) - \frac{1}{3} \sin^{3} (2 x)) + C$

Step 16

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Combine $\sin^{3} (2 x)$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{2} (\sin (2 x) - \frac{\sin^{3} (2 x)}{3}) + C$

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{2} \sin (2 x) + \frac{1}{2} (- \frac{\sin^{3} (2 x)}{3}) + C$

Combine $\frac{1}{2}$ e $\sin (2 x)$ .

$\frac{\sin (2 x)}{2} + \frac{1}{2} (- \frac{\sin^{3} (2 x)}{3}) + C$

Multiplique $\frac{1}{2} (- \frac{\sin^{3} (2 x)}{3})$ .

Toque para ver mais passagens...

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{\sin^{3} (2 x)}{3}$ .

$\frac{\sin (2 x)}{2} - \frac{\sin^{3} (2 x)}{2 \cdot 3} + C$

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{\sin (2 x)}{2} - \frac{\sin^{3} (2 x)}{6} + C$

Step 17

Reordene os termos.

$\frac{1}{2} \sin (2 x) - \frac{1}{6} \sin^{3} (2 x) + C$

Step 18

A resposta é a primitiva da função $f (x) = \cos^{3} (2 x)$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} \sin (2 x) - \frac{1}{6} \sin^{3} (2 x) + C$