Cálculo Exemplos

$x^{2} \ln (x)$

Step 1

Escreva $x^{2} \ln (x)$ como uma função.

$f (x) = x^{2} \ln (x)$

Step 2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \ln (x)$ .

$f' (x) = x^{2} \frac{d}{d x} (\ln (x)) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$f' (x) = x^{2} (\frac{1}{x}) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

Toque para ver mais passagens...

Combine $x^{2}$ e $\frac{1}{x}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Cancele o fator comum de $x^{2}$ e $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{x \cdot x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f' (x) = \frac{x \cdot x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$f' (x) = \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Cancele o fator comum.

$f' (x) = \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Reescreva a expressão.

$f' (x) = \frac{x}{1} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Divida $x$ por $1$ .

$f' (x) = x + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = x + \ln (x) (2 x)$

Reordene os termos.

$f' (x) = 2 x \ln (x) + x$

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x \ln (x) + x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x \ln (x)] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 x \ln (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x \ln (x)]$ .

Toque para ver mais passagens...

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x \ln (x)$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x \ln (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = \ln (x)$ .

$f'' (x) = 2 (x \frac{d}{d x} (\ln (x)) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 2 (x (\frac{1}{x}) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (x (\frac{1}{x}) + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

Combine $x$ e $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = 2 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = 2 (1 + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

Multiplique $\ln (x)$ por $1$ .

$f'' (x) = 2 (1 + \ln (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (1 + \ln (x)) + 1$

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = 2 \cdot 1 + 2 \ln (x) + 1$

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Multiplique $2$ por $1$ .

$f'' (x) = 2 + 2 \ln (x) + 1$

Some $2$ e $1$ .

$f'' (x) = 2 \ln (x) + 3$

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $2 \ln (x) + 3$ .

$2 \ln (x) + 3$

Step 3

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $2 \ln (x) + 3 = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$2 \ln (x) + 3 = 0$

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$2 \ln (x) = - 3$

Divida cada termo em $2 \ln (x) = - 3$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Divida cada termo em $2 \ln (x) = - 3$ por $2$ .

$\frac{2 \ln (x)}{2} = \frac{- 3}{2}$

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \ln (x)}{2} = \frac{- 3}{2}$

Divida $\ln (x)$ por $1$ .

$\ln (x) = \frac{- 3}{2}$

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\ln (x) = - \frac{3}{2}$

Para resolver $x$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (x)} = e^{- \frac{3}{2}}$

Reescreva $\ln (x) = - \frac{3}{2}$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{3}{2}} = x$

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Reescreva a equação como $x = e^{- \frac{3}{2}}$ .

$x = e^{- \frac{3}{2}}$

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}$

Step 4

Encontre os pontos em que a segunda derivada é $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Substitua $\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}$ em $f (x) = x^{2} \ln (x)$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Substitua a variável $x$ por $\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}$ na expressão.

$f (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}) = {(\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}})}^{2} \ln (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}})$

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{1^{2}}{{(e^{\frac{3}{2}})}^{2}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}})$

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{1}{{(e^{\frac{3}{2}})}^{2}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}})$

Multiplique os expoentes em ${(e^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{1}{e^{\frac{3}{2} \cdot 2}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}})$

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Cancele o fator comum.

$f (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{1}{e^{\frac{3}{2} \cdot 2}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}})$

Reescreva a expressão.

$f (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{1}{e^{3}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}})$

Mova $e^{\frac{3}{2}}$ para o numerador usando a regra do expoente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{1}{e^{3}} \cdot \ln (e^{- \frac{3}{2}})$

Expanda $\ln (e^{- \frac{3}{2}})$ movendo $- \frac{3}{2}$ para fora do logaritmo.

$f (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{1}{e^{3}} \cdot (- \frac{3}{2} \cdot \ln (e))$

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{1}{e^{3}} \cdot (- \frac{3}{2} \cdot 1)$

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{1}{e^{3}} \cdot (- \frac{3}{2})$

Multiplique $\frac{1}{e^{3}}$ por $\frac{3}{2}$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}) = - \frac{3}{e^{3} \cdot 2}$

Mova $2$ para a esquerda de $e^{3}$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}) = - \frac{3}{2 e^{3}}$

A resposta final é $- \frac{3}{2 e^{3}}$ .

$- \frac{3}{2 e^{3}}$

O ponto encontrado ao substituir $\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}$ em $f (x) = x^{2} \ln (x)$ é $(\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}, - \frac{3}{2 e^{3}})$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}, - \frac{3}{2 e^{3}})$

Step 5

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos em torno dos pontos que poderiam ser pontos de inflexão.

$(- \infty, \frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}) \cup (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}, \infty)$

Step 6

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, \frac{1}{e^{\frac{3}{2}}})$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Substitua a variável $x$ por $0.12313016$ na expressão.

$f'' (0.12313016) = 2 \ln (0.12313016) + 3$

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Simplifique $2 \ln (0.12313016)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$f'' (0.12313016) = \ln ({0.12313016}^{2}) + 3$

Eleve $0.12313016$ à potência de $2$ .

$f'' (0.12313016) = \ln (0.01516103) + 3$

A resposta final é $\ln (0.01516103) + 3$ .

$\ln (0.01516103) + 3$

Em $0.12313016$ , a segunda derivada é $- 1.18902654$ . Por ser negativa, a segunda derivada diminui no intervalo $(- \infty, \frac{1}{e^{\frac{3}{2}}})$ .

Decréscimo em $(- \infty, \frac{1}{e^{\frac{3}{2}}})$ , pois $f'' (x) < 0$

Step 7

Substitua um valor do intervalo $(\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}, \infty)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Substitua a variável $x$ por $0.32313016$ na expressão.

$f'' (0.32313016) = 2 \ln (0.32313016) + 3$

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Simplifique $2 \ln (0.32313016)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$f'' (0.32313016) = \ln ({0.32313016}^{2}) + 3$

Eleve $0.32313016$ à potência de $2$ .

$f'' (0.32313016) = \ln (0.1044131) + 3$

A resposta final é $\ln (0.1044131) + 3$ .

$\ln (0.1044131) + 3$

Em $0.32313016$ , a segunda derivada é $0.74059987$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}, \infty)$ .

Acréscimo em $(\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}, \infty)$ , pois $f'' (x) > 0$

Step 8

O ponto de inflexão é um ponto em uma curva em que a concavidade muda do sinal de adição para o de subtração ou vice-versa. Neste caso, o ponto de inflexão é $(\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}, - \frac{3}{2 e^{3}})$ .

$(\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}, - \frac{3}{2 e^{3}})$

Step 9