Cálculo Exemplos

$\ln (x^{2} - 6 x + 1)$ , $(6, 0)$

Step 1

Escreva $\ln (x^{2} - 6 x + 1)$ como uma equação.

$y = \ln (x^{2} - 6 x + 1)$

Step 2

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = 6$ e $y = 0$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x^{2} - 6 x + 1$ .

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Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} - 6 x + 1$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x + 1]$

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x + 1]$

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} - 6 x + 1$ .

$\frac{1}{x^{2} - 6 x + 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x + 1]$

Diferencie.

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De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 6 x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{x^{2} - 6 x + 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2} - 6 x + 1} (2 x + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 6 x$ em relação a $x$ é $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{x^{2} - 6 x + 1} (2 x - 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{x^{2} - 6 x + 1} (2 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Multiplique $- 6$ por $1$ .

$\frac{1}{x^{2} - 6 x + 1} (2 x - 6 + \frac{d}{d x} [1])$

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{x^{2} - 6 x + 1} (2 x - 6 + 0)$

Some $2 x - 6$ e $0$ .

$\frac{1}{x^{2} - 6 x + 1} (2 x - 6)$

Simplifique.

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Reordene os fatores de $\frac{1}{x^{2} - 6 x + 1} (2 x - 6)$ .

$(2 x - 6) \frac{1}{x^{2} - 6 x + 1}$

Multiplique $2 x - 6$ por $\frac{1}{x^{2} - 6 x + 1}$ .

$\frac{2 x - 6}{x^{2} - 6 x + 1}$

Fatore $2$ de $2 x - 6$ .

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Fatore $2$ de $2 x$ .

$\frac{2 (x) - 6}{x^{2} - 6 x + 1}$

Fatore $2$ de $- 6$ .

$\frac{2 x + 2 \cdot - 3}{x^{2} - 6 x + 1}$

Fatore $2$ de $2 x + 2 \cdot - 3$ .

$\frac{2 (x - 3)}{x^{2} - 6 x + 1}$

Avalie a derivada em $x = 6$ .

$\frac{2 ((6) - 3)}{{(6)}^{2} - 6 \cdot 6 + 1}$

Simplifique.

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Subtraia $3$ de $6$ .

$\frac{2 \cdot 3}{6^{2} - 6 \cdot 6 + 1}$

Simplifique o denominador.

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Eleve $6$ à potência de $2$ .

$\frac{2 \cdot 3}{36 - 6 \cdot 6 + 1}$

Multiplique $- 6$ por $6$ .

$\frac{2 \cdot 3}{36 - 36 + 1}$

Subtraia $36$ de $36$ .

$\frac{2 \cdot 3}{0 + 1}$

Some $0$ e $1$ .

$\frac{2 \cdot 3}{1}$

Simplifique a expressão.

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Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{6}{1}$

Divida $6$ por $1$ .

$6$

Step 3

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Use a inclinação $6$ e um ponto determinado $(6, 0)$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (0) = 6 \cdot (x - (6))$

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y + 0 = 6 \cdot (x - 6)$

Resolva $y$ .

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Some $y$ e $0$ .

$y = 6 \cdot (x - 6)$

Simplifique $6 \cdot (x - 6)$ .

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Aplique a propriedade distributiva.

$y = 6 x + 6 \cdot - 6$

Multiplique $6$ por $- 6$ .

$y = 6 x - 36$

Step 4