Cálculo Exemplos

$x^{3} \ln (x)$

Step 1

Escreva $x^{3} \ln (x)$ como uma função.

$f (x) = x^{3} \ln (x)$

Step 2

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Step 3

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int x^{3} \ln (x) d x$

Step 4

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = \ln (x)$ e $d v = x^{3}$ .

$\ln (x) (\frac{1}{4} x^{4}) - \int \frac{1}{4} x^{4} \frac{1}{x} d x$

Step 5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Combine $\frac{1}{4}$ e $x^{4}$ .

$\ln (x) \frac{x^{4}}{4} - \int \frac{1}{4} x^{4} \frac{1}{x} d x$

Combine $\ln (x)$ e $\frac{x^{4}}{4}$ .

$\frac{\ln (x) x^{4}}{4} - \int \frac{1}{4} x^{4} \frac{1}{x} d x$

Step 6

Como $\frac{1}{4}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{4}$ para fora da integral.

$\frac{\ln (x) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int x^{4} \frac{1}{x} d x)$

Step 7

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Combine $x^{4}$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\ln (x) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int \frac{x^{4}}{x} d x)$

Cancele o fator comum de $x^{4}$ e $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Fatore $x$ de $x^{4}$ .

$\frac{\ln (x) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int \frac{x \cdot x^{3}}{x} d x)$

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{\ln (x) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int \frac{x \cdot x^{3}}{x^{1}} d x)$

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{\ln (x) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int \frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 1} d x)$

Cancele o fator comum.

$\frac{\ln (x) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int \frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 1} d x)$

Reescreva a expressão.

$\frac{\ln (x) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int \frac{x^{3}}{1} d x)$

Divida $x^{3}$ por $1$ .

$\frac{\ln (x) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int x^{3} d x)$

$\frac{\ln (x) x^{4}}{4} - \frac{1}{4} \int x^{3} d x$

Step 8

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{\ln (x) x^{4}}{4} - \frac{1}{4} (\frac{1}{4} x^{4} + C)$

Step 9

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Reescreva $\frac{\ln (x) x^{4}}{4} - \frac{1}{4} (\frac{1}{4} x^{4} + C)$ como $\frac{1}{4} \ln (x) x^{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} x^{4} + C$ .

$\frac{1}{4} \ln (x) x^{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} x^{4} + C$

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Combine $\frac{1}{4}$ e $\ln (x)$ .

$\frac{\ln (x)}{4} x^{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} x^{4} + C$

Combine $\frac{\ln (x)}{4}$ e $x^{4}$ .

$\frac{\ln (x) x^{4}}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} x^{4} + C$

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $\frac{1}{4}$ .

$\frac{\ln (x) x^{4}}{4} - \frac{1}{4 \cdot 4} x^{4} + C$

Multiplique $4$ por $4$ .

$\frac{\ln (x) x^{4}}{4} - \frac{1}{16} x^{4} + C$

$\frac{1}{4} \ln (x) x^{4} - \frac{1}{16} x^{4} + C$

Step 10

A resposta é a primitiva da função $f (x) = x^{3} \ln (x)$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{4} \ln (x) x^{4} - \frac{1}{16} x^{4} + C$