Cálculo Exemplos

$f (x) = 3 \ln (x)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 \ln (x)$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (\ln (x))$

Etapa 1.2

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$f' (x) = 3 (\frac{1}{x})$

Etapa 1.3

Combine $3$ e $\frac{1}{x}$ .

$f' (x) = \frac{3}{x}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{3}{x}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

Etapa 2.2

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{- 1})$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$f'' (x) = 3 (- x^{- 2})$

Etapa 2.4

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$f'' (x) = - 3 x^{- 2}$

Etapa 2.5

Simplifique.

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Etapa 2.5.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 3 \frac{1}{x^{2}}$

Etapa 2.5.2

Combine os termos.

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Etapa 2.5.2.1

Combine $- 3$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 3}{x^{2}}$

Etapa 2.5.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = - \frac{3}{x^{2}}$

Etapa 3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- \frac{3}{x^{2}}$ .

$- \frac{3}{x^{2}}$