Cálculo Exemplos

$x^{2} \cos (x)$

Step 1

Encontre a primeira derivada.

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Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \cos (x)$ .

$f' (x) = x^{2} \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$f' (x) = x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x)$

Reordene os termos.

$f' (x) = - x^{2} \sin (x) + 2 x \cos (x)$

Step 2

Encontre a segunda derivada.

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De acordo com a regra da soma, a derivada de $- x^{2} \sin (x) + 2 x \cos (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [2 x \cos (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- x^{2} \sin (x)) + \frac{d}{d x} (2 x \cos (x))$

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x)]$ .

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Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2} \sin (x)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)]$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} (x^{2} \sin (x)) + \frac{d}{d x} (2 x \cos (x))$

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \sin (x)$ .

$f'' (x) = - (x^{2} \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 x \cos (x))$

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - (x^{2} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 x \cos (x))$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = - (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 x \cos (x))$

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x \cos (x)]$ .

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Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x \cos (x)$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x \cos (x)]$ .

$f'' (x) = - (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + 2 \frac{d}{d x} (x \cos (x))$

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = \cos (x)$ .

$f'' (x) = - (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + 2 (x \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (x))$

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = - (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + 2 (x (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (x))$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = - (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + 2 (x (- \sin (x)) + \cos (x) \cdot 1)$

Multiplique $\cos (x)$ por $1$ .

$f'' (x) = - (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + 2 (x (- \sin (x)) + \cos (x))$

Simplifique.

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Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - (x^{2} \cos (x)) - (\sin (x) (2 x)) + 2 (x (- \sin (x)) + \cos (x))$

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - (x^{2} \cos (x)) - (\sin (x) (2 x)) + 2 (x (- \sin (x))) + 2 \cos (x)$

Combine os termos.

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Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - x^{2} \cos (x) - 2 (\sin (x) (x)) + 2 (x (- \sin (x))) + 2 \cos (x)$

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f'' (x) = - x^{2} \cos (x) - 2 \sin (x) x - 2 (x (\sin (x))) + 2 \cos (x)$

Subtraia $2 x \sin (x)$ de $- 2 \sin (x) x$ .

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Mova $\sin (x)$ .

$f'' (x) = - x^{2} \cos (x) - 2 x \sin (x) - 2 x \sin (x) + 2 \cos (x)$

Subtraia $2 x \sin (x)$ de $- 2 x \sin (x)$ .

$f'' (x) = - x^{2} \cos (x) - 4 x \sin (x) + 2 \cos (x)$